Kuliah Mekanika Kuantum 03 Perlunya Bilangan Kompleks

Dalam mekanika kuantum, Anda melihat i muncul di sini $i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi$, dan i ini adalah bilangan kompleks-- $\sqrt{-1}$. Dan itu menunjukkan bahwa bilangan kompleks itu sangat penting. Memang sulit untuk terlalu menekankan pentingnya i-- akar kuadrat dari minus 1 ditemukan oleh orang-orang untuk menyelesaikan persamaan. Persamaan seperti x² = -1.

Dan kebetulan begitu Anda menemukan i, Anda perlu menemukan lebih banyak angka, dan Anda dapat menyelesaikan setiap persamaan polinomial dengan hanya i. Dan $\sqrt{i}$-- akar kuadrat dari i dapat ditulis dalam bentuk i dan angka lainnya. Jadi, jika Anda memiliki bilangan kompleks z-- terkadang kami menuliskannya seperti ini, $Z=a+ib$, dan kami mengatakan Z termasuk bilangan kompleks, dan dengan a dan b termasuk bilangan real. Dan kita katakan bahwa bagian real dari z adalah a, $Re(z)=a$, bagian imajiner dari z adalah b, $Im(z)=b$.

Kita juga mendefinisikan konjugat kompleks dari z, yaitu $Z^{\ast }=a-ib$ dan kita gambarkan bilangan kompleks z dengan menempatkan a pada sumbu x, dan b pada sumbu y, dan kita memikirkan bilangan kompleks z di sini-- seperti itu menempatkan bilangan real di sumbu x dan bagian imajiner di sumbu y. Anda dapat menganggap nilai di sumbu y sebagai ib atau b, tetapi ini adalah bilangan kompleks-- mungkin ib akan menjadi cara yang lebih baik untuk menuliskannya di sumbu y.

Dengan bilangan kompleks, ada satu lagi identitas yang berguna. Anda mendefinisikan norma bilangan kompleks menjadi akar kuadrat dari kuadrat ditambah b kuadrat, $|Z|=\sqrt{a^2+b^2}$ dan kemudian ini menghasilkan $|Z{|}^2=a^2+b^2$. Dan itu sebenarnya sama dengan z kali z bintang $Z^2=Z{Z}^{\ast }$ , Persamaan yang sangat mendasar-- $Z{Z}^{\ast }$-- jika Anda mengalikan z kali z bintang, Anda mendapatkan a kuadrat ditambah b kuadrat. Jadi normanya dikuadratkan-- norma dari Z adalah bilangan real. Dan itu cukup penting.

Ada satu identitas lain yang sangat berguna dan saya mungkin akan menyebutkannya di sini karena kita akan bekerja dengan bilangan kompleks. Dan untuk latihan lebih lanjut tentang bilangan kompleks, Anda akan melihat pekerjaan rumahnya. Misalkan saya punya di bidang kompleks sebuah sudut θ, dan saya ingin mencari tahu apa bilangan kompleks ini z di sini pada radius satuan. Jadi saya akan tahu bahwa bagian real-nya adalah cos θ. Dan bagian imajinernya adalah sin θ.

Ini lingkaran dengan jari-jari 1. Jadi itu pasti bilangan kompleks. z harus sama dengan cos θ ditambah i sin θ, . Karena bagian real-nya dari itu adalah cos θ. Ada dalam proyeksi bagian horizontal itu. Dan bagian imajiner adalah proyeksi vertikal. Nah hal yang sangat menakjubkan adalah ini sama dengan e pangkat iθ, $Z=cos\theta +isin\theta =e^{i\theta }$. Dan itu sangat tidak sepele.

Untuk membuktikannya, Anda harus bekerja sedikit, tetapi ini adalah hasil yang sangat terkenal dan kami akan menggunakannya. Z adalah bilangan kompleks. Anda menggunakan bilangan kompleks dalam elektromagnetisme. Anda terkadang menggunakan bilangan kompleks dalam mekanika klasik, tetapi Anda selalu menggunakannya dengan cara tambahan. Itu tidak relevan secara langsung karena medan listriknya nyata, posisinya, kecepatannya nyata - semuanya nyata dan persamaannya nyata.

Di sisi lain, dalam mekanika kuantum, persamaan tersebut sudah memiliki i. Jadi dalam mekanika kuantum, $\psi$ adalah bilangan kompleks. Itu harus. Faktanya, jika $\psi$ nyata, Anda akan memiliki kontradiksi karena jika $\psi$ nyata, ternyata untuk semua sistem fisik yang kami minati, H pada $\psi$ nyata memberi Anda hal yang nyata. Dan jika besaran di sisi kanan adalah nyata maka kerabatnya besaran di bagian kiri juga harus nyata. Akan tetapi bagian kiri dari persamaan Schrodinger adalah imajiner. Anda memiliki kontradiksi. Jadi tidak ada solusi yang nyata.

Jadi, Anda membutuhkan bilangan kompleks. $\psi$ bukan pembantu. $\psi$ memang harus sebagai bilangan kompleks. Di sisi lain, Anda tidak akan pernah bisa mengukur bilangan kompleks. Anda mengukur bilangan real-- ammeter, posisi, berat, apa pun yang benar-benar Anda ukur di penghujung hari adalah bilangan real.

Jika fungsi gelombang adalah bilangan kompleks, itu adalah masalah interpretasi fisiknya. Dan Max Born memiliki gagasan bahwa Anda harus menghitung bilangan real yang disebut norma kuadrat dari Z, dan nilai $|\psi {|}^2$ sebanding dengan probabilitas. Itu adalah penemuan hebat dan banyak berhubungan dengan pengembangan mekanika kuantum.

Orang membenci ini. Faktanya, Schrodinger sendiri membencinya, dan penemuannya atas kucing Schrodinger adalah upaya untuk menunjukkan betapa konyolnya gagasan memikirkan hal-hal ini sebagai probabilitas. Tapi dia salah, dan Einstein salah dalam hal itu. Tetapi ketika fisikawan yang sangat baik salah, mereka tidak salah karena alasan yang konyol, mereka salah karena alasan yang baik, dan kita dapat belajar banyak dari pemikiran mereka.

Dan EPR ini adalah hal-hal yang akan kita bahas suatu saat dalam urutan kuantum Anda di MIT. Einstein-Podolski-Rosen adalah upaya untuk menunjukkan bahwa mekanika kuantum salah dan menghasilkan penemuan yang luar biasa. Itu adalah makalah EPR itu sendiri yang salah, tetapi memunculkan ide-ide yang ternyata sangat penting.

---

Pemateri: Prof. Barton Zwiebach
Judul Asli: Necessity of complex numbers
Sumber: https://www.youtube.com/@mitocw

---