1. (10 poin - 20 menit) Sebuah batang uniform dengan massa \( M \), dan panjang \( L \) diletakkan di atas lantai horizontal di mana koefisien gesek kinetik antara batang dan lantai tersebut adalah \( \mu \). Jika sebuah gaya \( F \) diterapkan pada sebuah titik A yang berjarak \( s \) dari pusat batang dengan arah selalu tegak lurus batang sedemikian sehingga titik A tersebut selalu bergerak dengan laju konstan \( v \) dengan arah tegak lurus terhadap batang, maka hitunglah:
- (6 poin) jarak pusat rotasi dari titik pusat batang
- (4 poin) besar gaya 𝐹 yang diperlukan agar kondisi di atas tercapai
2. (10 poin - 20 menit) Diketahui sebuah silinder pejal homogen memiliki jari-jari R dan massa m.
- (5 poin) Sebuah bidang horizontal menopang silinder dalam posisi vertikal stasioner. Sebuah benda A dihubungkan dengan silinder melalui benang horizontal AB sepanjang l0 (Gambar di bawah, tampak dari atas).
Kecepatan awal \( v_0 \) diberikan ke benda A seperti ditunjukkan pada gambar. Bila dianggap tidak ada gesekan, tentukan waktu yang dibutuhkan benda A untuk bergerak di sepanjang bidang datar hingga ia membentur silinder? Nyatakan dalam \( R \), \( l_0 \), dan \( v_0 \).
- (5 poin) Sekarang silinder tersebut tidak lagi dihubungkan dengan benda A dan tali AB. Silinder secara bebas diputar pada sumbunya dengan kecepatan sudut \( \omega_0 \) dan kemudian diletakkan secara mendatar di suatu sudut dinding-lantai.
Koefisien gesekan antara dinding-lantai dengan silinder adalah \( \mu \). Berapa putarankah yang dilakukan silinder sebelum ia berhenti? Nyatakan dalam \( \mu \), \( \omega_0 \), \( R \) dan \( g \).
3. (14 poin - 30 menit) Sebuah bejana berbentuk silinder berisi air diputar terhadap sumbu vertikalnya dengan kecepatan sudut konstan \( \omega_0 \). Tentukan:
- (5 poin) bentuk permukaan bebas dari air (nyatakan dalam \( \omega \), \( r \), dan \( g \))
- (4 poin) distribusi tekanan air di dasar bejana sepanjang jari-jarinya dimana tekanan di titik pusatnya sama dengan \( p_0 \)
- (5 poin) Sebuah piringan horizontal tipis berjari-jari R = 10 cm diletakkan di dalam rongga silinder tersebut dan isi air nya diganti dengan minyak yang viskositasnya \( \eta \) = 0,08 P. Jarak bebas antara piringan dan bidang horizontal rongga tersebut adalah h = 1,0 mm. Hitunglah daya yang dihasilkan oleh gaya viskos yang bekerja pada piringan ketika berputar dengan kecepatan sudut \( \omega \) = 60 rad/s. Abaikan efek akhir yang terjadi.
4. (19 poin - 40 menit) Waktu pergerakan benda dari titik O ke A di bawah pengaruh percepatan gravitasi bumi \( g \) kan bervariasi terhadap bentuk lintasan benda tersebut. Terdapat satu lintasan licin yang menyebabkan waktu pergerakan menjadi minimum, lintasan tersebut bernama brachistochrone. Lintasan ini memiliki fungsi kurva sebagai berikut:
\[ x = a(\theta - sin \theta) \] \[ y = -a(\theta - cos \theta) \]
dimana \( \theta \) merupakan sebuah parameter dan \( a \) adalah suatu konstanta tertentu yang dapat dicari. Tinjau sebuah titik 𝐵 yang merupakan titik terendah lintasan tersebut. Jarak vertikal O ke B adalah \( h \) .benda tidak memiliki kecepatan awal saat dilepaskan dari O.
- (5 poin) Nyatakan \( a \) dalam \( h \)! Tentukan waktu pergerakan benda dari titik O ke B (\( t \))!
- (4 poin) Tinjau dua kasus berikut
- Jika lintasan O ke B adalah garis lurus, tentukan waktu pergerakannya (\( t_i \))! Bandingkan dengan jawaban soal bagian a, apakah lebih besar atau lebih kecil?
- Jika lintasan O ke B seperti Gambar 2 (dimana transisi dua garis tegak lurus dianggap halus sehingga tidak ada tumbukan), tentukan waktu pergerakannya ((\( t_{ii} \))! Bandingkan dengan jawaban soal bagian a, apakah lebih besar atau lebih kecil?
- (4 poin) Tentukan persamaan gerak benda! Tentukan juga jarak tempuhnya sebagai fungsi waktu, \( s(t) \)!
- (2 poin) Jika pada awalnya benda dilepaskan dari posisi \( y \) ≠ 0 namun tetap pada fungsi lintasan brachistochrone di atas, tentukan waktu untuk mencapai titik B, (\( t^′ \))! Jelaskan makna fisis dari jawaban tersebut.
Lintasan brachistochrone dapat dibayangkan dengan meninjau gerakan menggelinding dari sebuah roda. Tinjau titik P yang awalnya berada di posisi terendah dari sebuah roda berjarijari \( R \) yang menggelinding ke sumbu-x positif dengan kecepatan konstan 𝑣, titik tersebut akan memiliki fungsi posisi (berbentuk sikloid) yang serupa dengan kurva parametrik brachistochrone.
- (4 poin) Ambil posisi awal titik P sebagai pusat koordinat, tuliskan fungsi posisi kurva sikloid tersebut sebagai fungsi waktu, \( x(t) \) dan \( y(t) \)!
5. (14 poin - 30 menit) Suatu benda bermassa \( M \) bergerak horizontal ke kanan dengan besar kecepatan \( u \), menuju sebuah benda lain bermassa \( m \) yang diam. Kemudian setelah terjadi tumbukan secara elastik sempurna, benda bermassa \( M \) terhambur sebesar \( \theta \) dari arah kecepatan awalnya dan besar kecepatannya menjadi \( v \). Tentukan:
- (4 poin) Sudut \( \theta \) dalam besaran-besaran yang diketahui!
- (2 poin) Sudut hambur maksimum untuk suatu sistem dengan massa \( m \), \( M \) tertentu!
(Petunjuk: Karena massa tertentu, maka \( \theta \) hanya bervariasi terhadap keadaan akhir sistem)
- ((3 poin) Jejari kelengkungan lintasan massa \( M \) akibat defleksi oleh gas! (Petunjuk: Asumsikan sudut hambur \( \alpha \) sangat kecil di setiap tumbukan)
- (5 poin) Sudut hambur terbesar massa \( M \) setelah memasuki daerah berisi gas! Apakah massa \( M \) dapat berbalik arah dan keluar dari daerah tersebut?
6. (19 poin - 40 menit) Sebuah partikel bermassa \( m \) dapat bergeser secara bebas tanpa gesekan sepanjang kawat AB. Kawat AB dihubungkan dengan sebuah motor yang berada di titik O melalui batang tegar sepanjang \( h \) ke titik C sedemikian sehingga OC dan CB tegak lurus. Motor akan membuat sistem berotasi dengan laju sudut \( \omega = d\theta/dt \) yang konstan. Diketahui posisi, kecepatan, dan percepatan partikel relatif terhadap titik C masing-masing adalah \( q(t) \) ,\( v_q(t) = dq/dt \) , dan \( a_q(t) = d^2q/dt^2 \) , besar percepatan gravitasi adalah \( g \), dan kondisi gerak awal partikel adalah
\( q(0) = 0\) \( v_q(0) = 0 \) \( \theta(0) = 0 \)
- (7 poin) Jika kecepatan partikel relatif terhadap kerangka inersial O dapat dituliskan dalam bentuk,
\( \vec{v} (t) = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}\)
tentukan \( v_x \) dan \( v_y \). Nyatakan jawaban Anda dalam \( t \), \( \omega \), \( g \), \( q\), \( v_q \), dan \( h \). - (3 poin) Tentukan energi mekanik partikel di kerangka inersial O. Nyatakan jawaban Anda dalam \( t \), \( \omega \), \( g \), \( q\), \( v_q \), \( m \), dan \( h \).
- (4 poin) Tentukan percepatan partikel relatif terhadap titik C, \( a_q(t) \) dinyatakan dalam \( t \), \( \omega \), \( g \), dan \( q\),.
- (5 poin) Jika posisi partikel relatif terhadap titik C dapat dituliskan dalam bentuk
\( q(t) = P cosh (\omega t) + Q cos (\omega t)\)
tentukan P dan Q. Nyatakan jawaban Anda dalam \( g \), \( \omega \), \( t \), \( m \) dan \( h \).
7.(14 poin – 30 menit) Dua buah bola kecil masing-masing bermassa \( m_1 \), dan \( m_2 \) dihubungkan oleh batang tegar tak bermassa dengan panjang \( L \). Lihat Gambar. Mula-mula posisi batang tegar dalam keadaan vertikal menempel pada dinding, dengan \( m_1 \) di atas, dan \( m_2 \) di bawah. Kemudian bola \( m_2 \) diberikan kecepatan awal yang sangat kecil ke kanan, sehingga bola \( m_1 \) bergerak ke bawah.
- (11 poin) nilai \( m_2/m_1 \) .
- (3 poin) kecepatan sudut batang ketika \( m_1 \) tepat meninggalkan dinding.
Olimpiade: OSN Fisika Tingkat Propinsi
Tanggal: 2024
Komentar
Posting Komentar