Olimpiade Fisika Teluk Tahun 2016

Soal T1. Menstabilkan keadaan yang tidak stabil (11 poin)
Bagian A. Stabilisasi melalui umpan balik (3,5 poin)
Mari kita pelajari, bagaimana posisi keseimbangan yang awalnya tidak stabil dapat distabilkan. Pertama-tama kita pertimbangkan pendulum terbalik: batang tipis panjang dengan distribusi massa homogen dan panjang l dipasang pada titik terendahnya pada engsel sehingga dapat berputar bebas di sekitar engsel. Kita gambarkan posisi batang melalui sudut φ antara batang dan garis vertikal. Kita akan mengasumsikan bahwa \( \varphi \ll 1 \) ( \( \varphi \) jauh lebih kecil dari 1). Percepatan jatuh bebas g = 9,8 m/s².

1. (1,5 poin) Ekspresikan percepatan sudut batang \( \ddot{\varphi} \) dalam bentuk \( \varphi \), dan parameter \( l \) dan \( g \). Tunjukkan bahwa sudut kemiringan \( \varphi \) sebagai fungsi waktu t diekspresikan sebagai \( \varphi (t) = Ae^{t/\tau} + Be^{-t/\tau}\), di mana A dan B adalah konstanta yang bergantung pada posisi awal dan kecepatan sudut awal batang, dan \( \tau \) adalah waktu karakteristik. Ekspresikan \( \tau \)dalam bentuk \( l \) dan \( g \). (Anda dapat menggunakan analisis dimensi, tetapi Anda akan kehilangan 0,5 poin.)
   Petunjuk: untuk batang dengan panjang \( l \) dan massa \( m \), momen inersia terhadap titik akhirnya adalah \( \frac{1}{3} ml^2 \).
2. (0,5 poin) Sekarang, seorang anak mencoba untuk menjaga agar batang tipis yang panjang tetap berdiri tegak di telapak tangannya. Misalnya, begitu batang mulai jatuh ke kiri, ia menggerakkan telapak tangannya ke jarak yang lebih jauh ke kiri sehingga pusat gravitasi batang akan berada di posisi kanan dari titik tumpu batang. Kemudian, torsi gaya gravitasi akan memutar batang ke kanan, mengurangi kecepatan sudut ke kiri yang diamati sebelumnya. Perkirakan, untuk panjang batang berapa anak dapat menjaga batang tetap tegak jika waktu reaksinya diperkirakan sebagai \( \tau_r \) = 0,2 detik. (Waktu reaksi adalah jeda waktu antara perintah yang dikirim oleh otak ke tangan, dan gerakan tangan yang sesuai.)
3. (0,5 poin) Manusia dan burung mempertahankan posisi berdiri mereka dengan cara yang sama dan menggerakkan pusat tumpuan (titik di bagian bawah kaki mereka tempat gaya normal total diterapkan), misalnya dengan menyesuaikan sudut antara kaki dan telapak kaki, untuk melawan gerakan jatuh dari bagian atas tubuh mereka. Seekor burung kecil dengan panjang \( l_b \) = 6 cm dapat berdiri di atas kakinya; perkirakan batas atas untuk waktu reaksinya
4. (1 poin) Keseimbangan pada sepeda juga dipertahankan dengan menggeser pusat tumpuan yang terletak pada garis yang menghubungkan titik kontak roda; garis tersebut dapat dengan mudah dipindahkan dengan memutar stang saat melaju maju. Perkirakan kecepatan berkendara minimal \( v_m \) dari seorang pengendara sepeda yang dengannya keseimbangan dapat dipertahankan sedemikian rupa. Asumsikan bahwa bagi pengendara sepeda, waktu jatuh karakteristiknya sama dengan batang dengan panjang \( L \) = 2 m; jarak antara pusat roda \( d \) = 1 m

Bagian B. Berjalan di atas tali (3,5 poin)
Seorang pejalan di atas tali tidak dapat menggerakkan titik tumpu ke arah tegak lurus dengan tali. Keseimbangannya dijaga dengan menggeser pusat gravitasi. Mari kita buat model sederhana seorang pria yang menyeimbangkan diri di atas tali. Bagian bawah tubuh dimodelkan oleh massa titik \( m \) pada ketinggian \( H \), dan bagian atas tubuh — oleh massa titik yang sama m pada ketinggian \(1.4H\). Posisi timbal balik dari massa titik ini dapat diubah dengan membungkuk ke kanan atau ke kiri; demi kesederhanaan, mari kita asumsikan bahwa jarak massa titik dari tali akan tetap tidak berubah, yaitu ini berperilaku seolah-olah dipasang pada titik akhir dua batang tipis dengan panjang masing-masing \( H \) dan \( 1.4H \), lihat gambar. Biarkan batang membentuk sudut \( \alpha_1 \) dan \( \alpha_2 \) dengan garis vertikal (sudut positif sesuai dengan rotasi searah jarum jam), sehingga sudut antara batang adalah \( \beta = \alpha_1 - \alpha_2 \). Seorang pejalan di atas tali dapat mengendalikan nilai sudut \( \beta \) dengan membungkuk.

1. (1 poin) Mari kita asumsikan bahwa awalnya, pejalan di atas tali berdiri dalam keseimbangan yang hampir sempurna (\( \alpha_1 = \alpha_2 = 0 \) ). Karena ketidakstabilan keseimbangan ini, ia mulai jatuh perlahan searah jarum jam, yang ia sadari pada \( t = t_0 \) ketika \( \alpha_1 = \alpha_1 = \alpha_0 \gt 0 \). Ia membungkuk cepat untuk berhenti jatuh: asumsikan bahwa sudut \( \beta \) hampir seketika mengambil nilai baru \( \beta_0 \). Nyatakan nilai baru sudut \( \alpha_1 \) dan \( \alpha_2 \) dalam bentuk \( \beta \) dan \( \alpha_0 \).
2. (0,5 poin) Jadi, pejalan di atas tali sekarang membungkuk dan mempertahankan bentuk tubuh ini (\( \beta = \beta_0 \)) selama periode waktu \( T_b \) yang mana ia meluruskan tubuhnya hampir seketika dan karenanya membuat \( \beta = 0 \). Tujuannya adalah untuk melanjutkan posisi berdiri tanpa bergerak dengan \( \alpha_1 = \alpha_2 = 0 \). Haruskah ia membungkuk searah jarum jam ( \( \beta_0 \gt 0 \) ) atau berlawanan arah jarum jam? Berikan motivasi untuk menjawab.
3. (1 poin) Mulai sekarang, kita asumsikan bahwa \( \alpha_0 \ll \beta_0 \). Segera setelah ia meluruskan dirinya, baik kecepatan sudutnya \( \dot{\alpha_1} = \dot{\alpha_2} \) maupun sudut \( \alpha_1 \) tidak sama dengan nol: nilai nol akan tercapai jauh di kemudian hari. Nilai berapa (dinyatakan dalam bentuk \( H \) dan \( g \) ) yang seharusnya diambil oleh rasio \( \dot{\alpha_1}/\alpha_1 \) pada saat itu?
4. (1 pt) Nyatakan durasi \( T_b \) yang dibutuhkan dalam bentuk \( \alpha_0 \), \( \beta_0 \), \( H \), dan \( g \) dengan asumsi bahwa \( \alpha_0 \ll \beta_0 \).

Bagian C. Bandul Kapitza (4 poin)
Pada tahun 1908 Andrew Stephenson menemukan bahwa posisi atas sebuah bandul dapat stabil, jika titik suspensinya berosilasi dengan frekuensi tinggi. Penjelasan mengenai fenomena ini diberikan pada tahun 1951 oleh fisikawan Rusia Pyotr Kapitza. Berikut ini kita akan menemukan kriteria stabilitas bandul tersebut. Selain sekadar mainan yang bagus, bandul Kapitza menunjukkan metode pemisahan proses cepat dan lambat yang memainkan peran penting dalam fisika. Osilasi frekuensi tinggi dapat menggerakkan gerakan lambat dalam berbagai sistem, misalnya medan listrik frekuensi tinggi bekerja pada muatan dengan gaya rata-rata efektif yang dikenal sebagai gaya gerak ponderomotif.

Kita pertimbangkan bandul dengan panjang \( l \), mirip dengan bandul pada Pertanyaan-i Bagian-A, tetapi sekarang batang tersebut tidak bermassa, dengan massa titik di ujungnya, dan titik suspensi berosilasi vertikal (lihat gambar). Biarkan kecepatan \( v \) dari titik suspensi bergantung pada waktu t seperti yang ditunjukkan pada grafik di bawah ini (\( v \) > 0 sesuai dengan gerakan ke atas); setengah periode osilasi \( T \ll l/v_0 \). Kita juga berasumsi bahwa \( v_0/T \gg g \) sehingga untuk pertanyaan i–ii Anda dapat mengabaikan percepatan jatuh bebas. Untuk menyederhanakan perhitungan, Anda perlu mempelajari proses ini dalam kerangka acuan titik suspensi (ingat: percepatan kerangka acuan \(\vec{a} \) menimbulkan gaya inersia − \(M\vec{a} \) yang bekerja pada benda bermassa \( M \)).

1. (1,5 poin) Misalkan pada \( t = T/2 \), bandul tidak bergerak dan miring dengan sudut kecil \( \varphi_0 \). Buat sketsa grafik sudut kemiringan \( \varphi \) sebagai fungsi waktu, dan tentukan perpindahan sudut bandul \( \Delta\varphi \) untuk momen \( t = T \) , yaitu \( \Delta\varphi = \varphi(T) - \varphi(T/2) \). Anda dapat berasumsi dalam perhitungan Anda bahwa \( \Delta\varphi \ll \varphi_0 \) (ini valid karena \( T \ll 1/v_0 \)
2. (1,5 poin) Karena kita masih mengabaikan gravitasi, hanya gaya inersia yang memberikan torsi pada bandul. Tentukan nilai rata-rata torsi ini (sehubungan dengan titik suspensi, dirata-ratakan selama periode penuh \( 2T \))
3. Sekarang, mari kita perhitungkan bahwa ada juga medan gravitasi Bumi. Tentukan, pertidaksamaan mana yang harus dipenuhi untuk \( g \), \( T \), \( l \) dan \( v_0 \) untuk memastikan kestabilan posisi vertikal bandul tersebut (beberapa parameter ini mungkin tidak diperlukan untuk pertidaksamaan Anda).

Soal T2. Gelombang gravitasi (10 poin)
Bagian A. Radiasi dipol (2,4 poin)
Medan listrik statis dan medan gravitasi dijelaskan oleh rangkaian persamaan yang identik — selama kita jauh dari lubang hitam. Namun, jika kita menambahkan istilah yang menggambarkan variasi medan pada waktu tertentu, persamaannya menjadi berbeda. Oleh karena itu, ekspresi untuk gelombang elektromagnetik tidak dapat langsung diterapkan ke gelombang gravitasi. Namun, untuk ekspresi yang diberikan di bawah ini, perbedaannya hanya pada nilai prefaktor numerik.

Muatan yang bergerak dengan percepatan kehilangan energi kinetik dengan memancarkan gelombang elektromagnetik; radiasi ini dikenal sebagai radiasi dipol. Total daya radiasi dinyatakan sebagai
\[ P_{ed} = \frac{\ddot{\vec{d}}^2 }{6\pi \varepsilon_0 c^3} \]
di mana \( \ddot{\vec{d}} \) adalah turunan waktu kedua dari momen dipol, \( c \) adalah kecepatan cahaya, dan \( \varepsilon_0 \) permitivitas vakum. Momen dipol untuk sistem muatan \( q_i \) didefinisikan sebagai \( \vec{d} = \Sigma_i \vec{r_i} q_i \) , di mana \( \vec{r_i} \) adalah vektor yang menunjuk dari titik asal ke posisi muatan ke-i. Untuk dipol yang berosilasi secara harmonis, frekuensi gelombang yang dipancarkan sama dengan frekuensi osilasi.

1. (1,4 poin) Perhatikan sebuah elektron bermuatan \( -e \) dan bermassa \( m \), yang beredar di sekitar inti atom bermuatan \( +Ze \) pada jarak \( r \); abaikan efek mekanika kuantum. Nyatakan daya total yang terpancar, dan panjang gelombang \( \lambda \) dari gelombang yang terpancar dalam bentuk \( e \), \( Z \), \( m \), \( r \), dan konstanta fisika.
2. (1 poin) Mari kita coba terapkan Persamaan (1) ke gelombang gravitasi; maka, daya radiasi total \( P_{gd} \), akan sebanding dengan \( \ddot{\vec{d_g}}^2 \) , di mana \( \vec{d_g} \) adalah momen dipol gravitasi, dan dua titik menunjukkan turunan waktu kedua. Analog dengan dipol listrik, momen dipol gravitasi untuk sistem massa titik \( m_i \) didefinisikan sebagai \( \vec{d_g} = \Sigma_i \vec{r_i} m_i \). Buktikan bahwa \( P_{gd} \) selalu = 0.

Bagian B. Radiasi quadrupole (7,6 poin)
Mari kita perhatikan bintang biner yang terdiri dari dua bintang dengan massa yang sama \( M \) yang berputar di sekitar orbit lingkaran dengan radius \( R \) dengan kecepatan sudut \( \omega \)

1. (1 poin) Nyatakan \( \omega \) dalam bentuk \( M \), \( R \), dan konstanta.
2. (0,8 poin) Meskipun tidak ada radiasi dipol gravitasi, ada radiasi kuadrupol. Dalam analogi dengan radiasi dipol, radiasi tersebut harus proporsional dengan turunan waktu kuadrat dari momen kuadrupol. Untuk soal ini, cukup diketahui bahwa untuk bintang biner kita, komponen momen kuadrupol gravitasi berada pada orde \( MR^2 \). Jadi, kita mengharapkan daya radiasi total memiliki bentuk \( P_{qg} = AM^2R^4 \), di mana faktor \( A \), dapat bergantung pada \( \omega \), dan konstanta fisika (di sini \( \omega \) adalah parameter independen, meskipun untuk bintang biner bergantung pada \( M \) dan \( R \)). Temukan ekspresi untuk \( P_{qg} \) menggunakan analisis dimensi.
3. (0,8 poin) Efek gelombang gravitasi diukur dengan regangan \( h = \Delta l / l \) di sini \( l \) adalah jarak antara dua titik di ruang angkasa, dan\( \Delta l \)) adalah perubahan jarak tersebut karena gelombang. Seperti biasa untuk gelombang, kerapatan fluks energi \( S \) (energi radiasi per satuan waktu dan satuan luas) sebanding dengan amplitudo gelombang kuadrat: \( S = K h_0^2 \) (\( h_0 \) menunjukkan amplitudo gelombang). Berdasarkan argumen dimensi, nyatakan faktor \( K \) dalam bentuk konstanta dan frekuensi sudut gelombang \( \omega \).
4. (1 poin) Radiasi dipol didistribusikan ke arah perambatan secara anisotropik, tetapi mari kita abaikan ini: demi kesederhanaan, asumsikan radiasi isotropik. Ekspresikan amplitudo \( h_0 \) gelombang gravitasi pada jarak \( L \) dalam bentuk \( M \), \( R \), dan konstanta fisika.

Energi bintang biner berkurang seiring waktu karena emisi gelombang gravitasi. Jadi, jarak \( R \) antara dua bintang berkurang. Proses ini akan terus berlanjut hingga bintang-bintang bertabrakan dan bergabung (\( R \) menjadi sebesar radius bintang). Dalam percobaan LIGO (dilaporkan pada 11 Februari 2016), gelombang gravitasi yang dipancarkan tepat sebelum penggabungan dua lubang hitam diamati. Untuk radius lubang hitam, kita akan menggunakan radius Schwarzschild \( R_s \) yang didefinisikan sebagai jarak kritis dari massa titik \( M \) sehingga cahaya tidak dapat lepas karena tarikan gravitasi dari jarak \( r \lt R_s \). Untuk mendapatkan ekspresi \( R_s \) dengan tepat, teori relativitas umum diperlukan.

5. (1 poin) Nyatakan \( R_s \) dalam bentuk \( M \) dan konstanta fisika. Gunakan fakta berikut: jika kita mengabaikan relativitas umum dan menggunakan relativitas khusus bersama dengan hukum gravitasi Newton, kita memperoleh hasil yang tepat setengah dari yang benar.
6. (1,5 poin) Dalam percobaan LIGO, menggunakan interferometer laser sepanjang 4 km, regangan \( h \) (lihat pertanyaan iii) diukur sebagai fungsi waktu; hasilnya diberikan dalam grafik di bawah ini. Dengan menggunakan grafik ini dan dengan asumsi bahwa massa kedua lubang hitam itu sama, perkirakan massa masing-masing lubang hitam secara numerik. Konstanta gravitasi \( G \) = 6,67 × 10⁻¹¹ m³s⁻²kg⁻¹; c = 3,00 × 10⁸ m/s.
   
7. (1,5 poin) Dengan menggunakan data yang sama seperti pada pertanyaan vi, perkirakan jarak ke lubang hitam ini.

Soal T3. Magnetar (9 poin)
Bagian A. Radiasi dipol (2,4 poin)

Medan magnet ada di sekitar kita. Beberapa nilai medan magnet yang umum: Medan magnet Bumi: 25 − 60 µT; di bintik matahari: 0,3 T; magnet permanen yang kuat: sekitar 1 T; medan magnet yang terus-menerus dipertahankan di laboratorium: hingga 45 T; bintang neutron dan magnetar: hingga 10¹¹ T. Berikut ini kita akan mempelajari beberapa aspek medan magnet yang kuat.

Kepadatan energi medan magnet \( w = B^2 \frac{1}{2 \mu \mu_0} \) , di mana \( \mu_0 \) ≈ 1,3 × 10⁻⁶ N/A² adalah permeabilitas vakum, dan \( \mu \) — permeabilitas relatif medium. Sistem mencoba bergerak menuju keadaan energi yang lebih rendah sehingga bahan feromagnetik dengan \( \mu \gg 1 \) ditarik ke daerah dengan medan magnet yang kuat, dan bahan diamagnetik dengan\( \mu \lt 1 \) didorong keluar. Untuk bahan diamagnetik, suspekibilitas magnetik \( \chi = \mu - 1 \) kecil, |χ| ≪ 1, sehingga efeknya kecil kecuali medannya kuat. Air adalah diamagnetik dengan χ = −9 × 10⁻⁶ dan hewan sebagian besar terbuat dari air. Jadi, seekor katak dapat melayang dalam medan magnet jika medannya cukup kuat, lihat fotonya

1. (1,5 poin) Misalkan tinggi katak hf tidak lebih dari h₀ = 10 mm, dan mari kita asumsikan secara sederhana bahwa medan magnet kuadrat bergantung secara linear pada tinggi z, lihat gambar. Carilah seberapa kuat medan magnet B₀ (dalam Tesla) yang dibutuhkan untuk menjaga katak ini tetap melayang.
   
   Asumsikan bahwa katak tersebut seluruhnya terbuat dari air (kepadatan ρ = 1000 kg/m³); percepatan jatuh bebas g = 9,8 m/s². Petunjuk: untuk |χ| ≪ 1, kita dapat menulis \( w \approx B^2 \frac{1-\chi}{2 \mu_0} \) ; oleh karena itu, kepadatan energi yang terkait dengan keberadaan air adalah \( \Delta w = B^2 \frac{1-\chi}{2 \mu_0} - B^2 \frac{1}{2 \mu_0} \) = \( - B^2 \frac{\chi}{2 \mu_0} \).
   
   Bintang terbuat dari plasma yang merupakan konduktor listrik yang baik. Karena itu, garis-garis medan magnet berperilaku seolah-olah "dibekukan" ke dalam plasma yang bergerak (ini mengikuti hukum induksi Faraday dan hukum tegangan Kirchoff: karena tidak adanya hambatan listrik, penurunan tegangan sepanjang kontur fiktif tertutup di dalam plasma harus nol, maka fluks magnet tidak dapat berubah).Jika sebuah bintang runtuh menjadi bintang neutron, efek ini akan menyebabkan peningkatan medan magnet secara instan, lihat sketsa garis-garis medan magnet sebelum dan sesudah keruntuhan (ingat bahwa kekuatan medan magnet sebanding dengan kerapatan garis-garis medan).
2. (1 poin) Dengan asumsi bahwa medan magnet kutub bintang adalah B_s = 100 µT dan kerapatan rata-ratanya ρ_s = 1400 kg/m³, berapakah kekuatan medan magnet kutubnya B_c setelah keruntuhannya menjadi bintang neutron karena kompresi garis-garis medan magnet seperti yang digambarkan di atas? Kerapatan bintang neutron ρ_n = 5 × 10¹⁷ kg/m³.
3. (1 poin) Pada kenyataannya, medan magnet bintang neutron dihasilkan secara berbeda. Mari kita pertimbangkan model yang sangat sederhana. Bagian dalam bintang telah runtuh ke ukuran dan kepadatan bintang neutron, tetapi bagian luarnya tetap berukuran sama. Asumsikan bahwa sebelum keruntuhan, bintang berputar sebagai benda padat dengan kecepatan sudut ωs. Nyatakan kecepatan sudut baru bagian dalam bintang ωn dalam bentuk ω_s, ρ_s, dan ρ_n
4. (1,5 poin) Kecepatan putaran bagian dalam dan luar berbeda, sehingga garis medan akan diregangkan, lihat gambar
   
   Demi kesederhanaan: (a) kita menggunakan geometri 2 dimensi, yaitu menganggap bintang sebagai silinder; (b) sementara medan awal adalah medan dipol, kita berasumsi bahwa medan tersebut simetris silinder seperti yang ditunjukkan pada gambar; (c) titik akhir garis medan melekat pada silinder bagian dalam (bintang neutron) dan pada cangkang silinder bagian luar (sisa bintang asli). Misalkan medan magnet awal di cangkang luar adalah B₀. Nyatakan medan magnet B sebagai fungsi waktu t di wilayah tempat garis medan diregangkan untuk t ≫ 1/ω_n dalam suku B₀ dan ωn.
5. (1 poin) Jadi, energi diubah selama keruntuhan bintang sebagai berikut: energi gravitasi diubah menjadi energi kinetik (abaikan energi termal), yang kemudian diubah menjadi energi magnetik. Berdasarkan skenario ini, perkirakan kekuatan maksimal medan magnetik Bmax untuk bintang neutron bermassa M_n = 4 × 10³⁰kg dan jari-jari R_n = 13 km. Ingat kembali bahwa G = 6,67 × 10⁻¹¹ m³s⁻²kg⁻¹
6. (1 poin) Medan magnet yang sangat kuat memengaruhi sifat kimia materi dengan mengubah bentuk orbit elektron. Hal ini terjadi ketika gaya Lorenz yang bekerja pada elektron orbital menjadi lebih kuat daripada gaya Coulomb karena inti atom. Perkirakan kekuatan medan magnet B_H yang diperlukan untuk mendistorsi orbit elektron atom hidrogen yang memiliki jari-jari R_H = 5 × 10⁻¹¹ m. Perhatikan bahwa 1/4πε₀ = 9 × 10⁹ m/F, e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C, dan massa elektron m_e = 9,1 × 10⁻³¹ kg.
7. (2 poin) Dalam medan magnet yang sangat kuat, awan elektron atom berbentuk silinder. Perkirakan rasio panjang terhadap diameter κ = l/d awan elektron tersebut untuk atom hidrogen di dekat bintang neutron, dalam medan magnet B_n = 10⁸ T. Perhatikan bahwa konstanta Planck h = 6,6 × 10⁻³⁴ J · s. Petunjuk: jari-jari orbit siklotron untuk elektron dalam keadaan dasar mekanika kuantum dapat diperkirakan menggunakan prinsip ketidakpastian.

---

Olimpiade: The 1st Gulf Physics Olympiad
Tahun: Riyadh, Saudi Arabia — Monday, March 21st 2016
Tipe Soal: Theoretical Competition

---