Menjelang akhir abad ke-19, dunia fisika berkembang dengan pesat. Prinsip-prinsip termodinamika telah membantu untuk memulai revolusi industri. Faraday baru-baru ini menemukan cara untuk menghasilkan listrik. Selanjutnya penyatuan besar konsep listrik dan magnet oleh James Clark Maxwell telah menyebabkan realisasi luar biasa bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Didorong oleh kekuatan dan jangkauan teori baru ini, fisikawan mulai menggunakannya untuk mengatasi beberapa masalah besar yang belum terpecahkan pada hari itu.
Ketika temperatur logam meningkat, logam itu pertama-tama akan bersinar merah kusam, kemudian merah jingga, kemudian kuning, dan akhirnya putih kebiruan. Pada saat yang sama, semakin terang fisikawan ingin menjelaskan bagaimana intensitas atau kecerahan radiasi yang dipancarkan terkait dengan panjang gelombang, atau warna. Yang mereka sadari bahwa ini akan melibatkan pemahaman bagaimana gumpalan logam berinteraksi dengan radiasi cahaya yang dipancarkan pada tingkat fundamental.
Namun ketika teori Maxwell digunakan bersama dengan termodinamika klasik untuk menghitung profil emisi benda panas, diprediksi bahwa semua benda tersebut harus memancarkan energi dalam jumlah tak terbatas pada panjang gelombang kecil atau frekuensi tinggi. Cahaya frekuensi tinggi dijuluki sinar ultraviolet. Karena prediksi ini jelas bermasalah. Masalah ini kemudian dikenal sebagai bencana ultraviolet.
Hal itu mewakili kegagalan lengkap fisika klasik. Dalam upaya untuk memecahkan masalah ini, Max Planck memperkenalkan konsep revolusioner terkait dengan kuantisasi energi. Gagasan bahwa energi ditransfer secara terpisah dalam bongkahan (diskrit) daripada terus-menerus (kontinu). Setelah pekerjaan Planck pada topik ini, dunia tidak akan pernah sama lagi.
Untuk memahami dengan benar solusi Planck untuk masalah tersebut, dan mengapa ini mewakili titik balik penting dalam sejarah sains, pertama-tama Kita perlu memahami penyebab masalahnya. Untuk memahami penyebabnya Kita perlu mulai dengan beberapa konsep dasar.
Saat Anda menyinari suatu objek, sebagian mungkin dipantulkan, sebagian mungkin ditransmisikan, dan beberapa di antaranya mungkin diserap. Benda yang lebih gelap cenderung menyerap lebih banyak cahaya yang menimpanya dan memantulkan lebih sedikit daripada benda yang lebih terang. Itulah sebabnya mereka tampak gelap pada awalnya. Hal itu juga menjadi penyebab mengapa mereka cenderung memanas lebih cepat. Pikirkan tentang bagaimana permukaan hitam memanas di musim panas dibandingkan dengan permukaan putih.
sebuah benda yang menyerap semua cahaya yang datang padanya disebut oleh fisikawan sebagai benda hitam. Karena alasan yang jelas, jika suhu benda hitam lebih rendah dari suhu lingkungan tempat benda itu berada ditempatkan maka ia akan terus menyerap energi dari lingkungan hingga mencapai suhu yang sama, pada tahap dimana ia dikatakan berada dalam kesetimbangan termal. Jika benda hitam memiliki suhu yang lebih tinggi dari lingkungannya, maka ia akan memancarkan energi hingga benda itu telah menurunkan suhunya cukup untuk mencapai kesetimbangan termal. Sehingga, benda hitam tidak hanya penyerap radiasi yang sempurna tetapi juga pemancar radiasi yang sempurna.
Lebih lanjut, percobaan menunjukkan bahwa profil intensitas panjang gelombang benda hitam bersifat universal. Profil ini tidak bergantung pada bentuk atau komposisi benda hitam, tetapi hanya pada suhunya. Kesederhanaan relatif inilah yang membuat benda hitam sangat menarik bagi fisikawan. Ini titik awal logis untuk setiap penyelidikan tentang sifat radiasi benda panas.
Contoh benda hitam nyata yang dipelajari oleh fisikawan disebut "Kubus Jeans", dinamai fisikawan Sir James Jeans. Yang bersama dengan Lord Rayleigh memberikan salah satu upaya pertama untuk menjelaskan radiasi yang dipancarkan dari benda hitam. Kubus Jeans dapat dianggap sebagai kotak logam kubik dengan ukuran sangat kecil dengan lubang di salah satu sisi. Radiasi yang datang menuju lubang dari luar akan memasuki kubus. Radiasi ini akan dipandulkan secara bolak-balik pada permukaan dalam dinding. Sebagian radiasi tersebut diserap oleh dinding.
Mengingat lubangnya sangat kecil, hanya sebagian kecil dari radiasi di dalam kubus yang akan lolos kembali melalui lubang yang ama. Oleh karena itu dari perspektif lubang, pada dasarnya semua radiasi yang terjadi padanya akan diserap. Oleh karena itu lubang bertindak seperti benda hitam.
Kita juga dapat mempertimbangkan proses sebaliknya, di mana dinding kubus dipanaskan secara seragam ke suhu tertentu. Sehingga dinding mulai memancarkan radiasi dan mengisi kubus. Mengingat sebagian kecil dari radiasi ini kemudian akan keluar melalui lubang. Kita melihat bahwa lubang tersebut bertindak seperti pemancar radiasi. karena Kita telah menetapkan dari sifat penyerapan radiasi dari lubang yang berperilaku seolah-olah itu adalah benda hitam, maka radiasi yang dipancarkan dari lubang harus memiliki profil intensitas benda hitam. Lebih jauh lagi, karena lubang hanya mengambil sampel radiasi termal di dalam kubus, jelas bahwa radiasi di dalam kubus juga harus memiliki profil intensitas panjang gelombang dari benda hitam.
Karya eksperimental terobosan ke dalam sifat radiasi benda hitam ideal dilakukan oleh Otto Lummer, dan Ernst Pringsheim. Eksperimen ini memberikan data berharga bagi fisikawan teoretis untuk menyelidiki karya eksperimental yang melibatkan pengukuran pancaran spektral benda hitam sebagai fungsi panjang gelombang. Ini menghasilkan kurva karakteristik yang bervariasi. Semakin rendah suhu semakin datar kurva.
Pancaran spektral R(λ) didefinisikan sebagai energi per detik per satuan luas per satuan panjang gelombang. Secara sederhana pancaran spektral adalah intensitas per satuan panjang gelombang. Karena intensitas didefinisikan sebagai daya per satuan luas, maka satuan pancaran spektral adalah watt per meter kubik (W/m³).
Untuk menemukan intensitas dari salah satu grafik ini, Anda hanya perlu menemukan luas di bawah kurva. Dengan kata lain, intensitas adalah integral dari pancaran spektral. Sehubungan dengan percobaan panjang gelombang seperti ini mengungkapkan pola dalam data. Khususnya dua hukum empiris yang mencolok muncul.
I(T) = ∫R(λ)dλ dari λ = 0 hingga λ = ∞
Yang pertama adalah hukum Stefan-Boltzmann yang menghubungkan intensitas radiasi yang dipancarkan dengan suhu. Yang dapat Anda lihat dengan jelas dari grafik, bahwa ketika suhu meningkat luas di bawah kurva yang sesuai meningkat. Oleh karena itu, intensitas meningkat. Hukum Stefan-Boltzmann mengkuantifikasi hubungan ini dan mengatakan bahwa intensitas sebanding dengan pangkat empat suhu.
I(T) = σT⁴
Hukum empiris kedua adalah Hukum Pergeseran Wien yang menghubungkan panjang gelombang yang sesuai dengan puncak pancaran spektral dengan suhu. Saat suhu meningkat panjang gelombang yang sesuai dengan emisi maksimum berkurang. Ini cocok dengan apa yang telah Kita lihat saat memanaskan sebongkah logam. Saat suhu logam bercahaya meningkat warnanya berubah, dari merah menjadi oranye menjadi kuning. Perubahan warna ini sesuai dengan panjang gelombang cahaya yang lebih pendek dan lebih pendek. Hal ini dirumuskan sebagai hukum pergeseran Wien
λmaxT = konstan
Meskipun Hukum Stephen Boltzmann dan, Hukum Pergeseran Wien memberikan wawasan berharga tentang radiasi benda hitam, fisikawan teoretis ingin lebih dari itu. Terlebih dahulu mereka ingin mengetahui apa itu fungsi pancaran spektral, dan kedua mereka ingin dapat memperoleh ekspresi untuk pancaran spektral menggunakan hukum fisika yang diketahui. Jadi inilah yang dilakukan Rayleigh dan Jeans, mereka mengalihkan perhatian mereka ke studi teoritis radiasi di dalam kubus Jeans, dan menerapkan teori terbaik saat itu untuk mengatasi masalah ini,
Apa hukum fisika yang diketahui, mengingat rayleigh dan jeans ingin mempelajari sifat radiasi benda hitam, masuk akal jika mereka menggunakan hukum elektromagnetisme yang sangat sukses. Khususnya sifat radiasi elektromagnetik yang baru ditemukan seperti yang dijelaskan oleh James Clark Maxwell.
Menurut Maxwell cahaya terdiri dari gelombang elektromagnetik yang merambat yang bergerak dengan kecepatan cahaya melalui ruang hampa. Rayleigh dan Jeans juga beralih ke hukum termodinamika statistik seperti yang dikemukakan oleh Ludwig Boltzmann. Menurut Boltzmann, suhu suatu objek hanyalah rata-rata statistik dari energi partikel yang terdiri dari objek. Dipersenjatai dengan gelombang elektromagnetik Maxwell. dan Termodinamika statistik Boltzmann, Rayleigh dan Jeans yakin bahwa mereka dapat berhasil menurunkan fungsi pancaran spektral untuk benda hitam.
Mereka perlu strategi yang jelas. Pertama, mereka menyadari bahwa akan lebih berguna dan lebih sederhana jika mereka menentukan spektrum radiasi di dalam kubus Jeans dalam bentuk kerapatan energi ρ(f) daripada pancaran spektral. Inilah yang akan Kita lakukan.
Kerapatan energi secara sederhana hanyalah energi yang terkandung di dalam satu-satuan volume dari kubus, pada suhu t dalam interval frekuensi antara f dan f + df. Setelah kerapatan energi telah ditetapkan, pancaran spektral dapat dihitung dengan sangat sederhana, ρ(f) ∝ R(f). Karena radiasi spektral dan kerapatan energi sebanding satu sama lain. Pada kenyataannya radiasi spektral, R(f) = (o/4π)ρ(f). Kita akan kembali ke hasil ini nanti.
Bagaimana Anda menemukan kerapatan energi. Pendekatan rayleigh dan jeans memiliki tiga tahapan.
- Anda perlu menghitung jumlah gelombang elektromagnetik yang muat di dalam kubus. Kedua Anda perlu menghitung
- Kamu perlu menghitung energi rata-rata dari gelombang elektromagnetik ketika tercapai kesetimbangan termal
- Kamu perlu menggabungkan kedua hasil tersebut untuk mengetahui kerapatan energi untuk rentang frekuensi tertentu
Untuk memulai hal ini, Kita perlu memahami caranya untuk menggambarkan gelombang secara matematis. Karena Kita akan menggambarkan radiasi di dalam kubus dalam hal radiasi elektromagnetik. Seperti yang telah dibahas terdiri dari gelombang. Kita dapat menggambarkan gelombang yang bergerak ke kanan menggunakan fungsi sinus berikut.
yR(x,t) = A sin (kx - ωt)
di sini y mewakili penyimpangan gelombang untuk koordinat x dan koordinat waktu t yang diberikan. Karena nilai terbesar yang mungkin dari fungsi sinus adalah 1, Kita melihat bahwa A mewakili amplitudo. Ini merupakan penyimpangan maksimum yang mungkin. Jadi jika misalnya ini adalah gelombang pada tali, A akan mewakili ketinggian maksimum. Besaran amplitudo dari tali diukur terhadap posisi kesetimbangan.
Tanda minus di depan nilai ω memberi tahu Kita bahwa gelombang bergerak ke kanan. Jika Kita membiarkan waktu mengalir, Kita dapat melihat gerakan dari gelombang ini. Konstanta k disebut sebagai bilangan gelombang. Besaranm ini didefinisikan sebagai 2π/λ. Bilangan gelombang mewakili frekuensi spasial gelombang. Di sisi lain, ω hanya sebanding dengan frekuensi gelombang. ω merupakan frekuensi temporal, yaitu jumlah gelombang lengkap yang melewati satu titik setiap detik. Sekarang Kita juga dapat menuliskan ekspresi yang menggambarkan gelombang bergerak ke kiri. dan Anda melihat bahwa tanda minus di depan ω telah diganti dengan plus. Ini menyebabkan gelombang bergerak ke kiri.
Jadi apa yang akan terjadi jika Kita memiliki gelombang yang bergerak ke kanan bertemu dengan gelombang yang bergerak ke kiri di wilayah ruang yang sama. Dalam hal ini, Kita akan mengacu pada prinsip superposisi, yang menyatakan bahwa penyimpangan bersih (net displacement) di suatu lokasi dalam ruang hanyalah jumlah dari penyimpangan individu pada titik tersebut. Jadi jika Kita ingin mencari penyimpangan bersih karena gelombang bergerak kanan dan bergerak kiri gelombang yang melewati titik yang sama dalam ruang, Kita cukup menambahkan penyimpangan individu.
ynet (x,t) = yR(x,t) + yL(x,t)
ynet (x,t) = A sin (kx - ωt) + A sin (kx + ωt)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
Sekarang Kita dapat menyederhanakan ungkapan ini dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri. khususnya sinus (a + b ) dan sinus (a - b). Jika Kita menjumlahkan dua identitas trigonometri ini bersama-sama,. maka Kita menemukan ekspresi ini
sin (A + B) + sin (A - B)= 2sin A cos B
Sekarang, Kita akan mencocokkan suku dri persamaan ini. Kita melihat bahwa A dapat diidentifikasi dengan kx dan B dapat diidentifikasi dengan ωt. Oleh karena itu, penyimpangan bersih dapat ditulis sebagai 2a sin kx cos ωt. Seperti apa persamaan ini. Kita dapat memvisualisasikannya dengan animasi berikut (animasi dapat dilihat di kanal youtube dari pemateri).
Anda melihat bahwa gelombang bergerak kiri dan kanan digabungkan untuk membentuk gelombang hijau. Jika Kita menghilangkan gelombang bergerak kiri dan kanan, dan hanya fokus pada penyimpangan bersih, Kita mendapatkan pola gelombang stasioner mirip dengan kurva sinus. Namun gelombang ini memiliki amplituode 2 kali amplitudo semula. Nilai penyimpangan hanya bergerak naik dan turun secara vertikal. Tidak terlihal bergerak ke kanan atau ke kiri. Gelombang seperti ini disebut sebagai gelombang berdiri atau gelombang stasioner.
Untuk alasan yang jelas, karena polanya tidak bergerak ke kiri atau ke kanan. Gelombang itu hanya bergerak naik dan turun, jadi bagaimana hubungannya dengan radiasi elektromagnetik. Di dalam kubus Jeans, Kita asumsikan bahwa sisi dari kubus Jeans disejajarkan sepanjang sumbu x, y, dan z. Panjang setiap sisi kubus adalah L.
Radiasi elektromagnetik yang memantulkan bolak-balik dapat dianalisis menjadi tiga komponen. Pertimbangkan hanya komponen pada sumbu x. Radiasi sepanjang komponen ini yang datang ke dinding dipantulkan olehnya. Gelombang datang dan gelombang yang dipantulkan bergabung membentuk gelombang stasioner sepanjang arah x. Karena radiasi elektromagnetik adalah getaran transversal dengan medan listrik yang berosilasi tegak lurus terhadap arah rambat. Karena arah rambat tegak lurus ke dinding maka medan listrik sejajar dengan dinding.
Namun dinding logam tidak dapat mendukung medan listrik yang sejajar dengan permukaan. Karena muatan listrik selalu dapat mengalir sedemikian rupa untuk menetralkan medan listrik. Sehingga medan listrik harus nol pada dinding wadah. Gelombang stasioner yang terkait dengan komponen x radiasi harus memiliki simpul alias amplitudo nol pada x = 0 dan x = l. Kondisi ini membatasi panjang gelombang yang mungkin.
Oleh karena itu, frekuensi dari radiasi EM di dalam kubus jelas sama juga menerapkan arah y (y = 0 dan y = l) dan z (z = 0 dan z = l). Untuk melihat cara kerjanya secara matematis, Kita perlu terlebih dahulu menentukan ekspresi untuk pola medan listrik stasioner di dalam kubus. Ini mudah, karena Kita telah melihat bahwa pola pada gelombang stasioner dijelaskan oleh fungsi berikut (ynet = 2a sin kx cos ωt.
Sekarang Kita hanya perlu mengganti penyimpangan y dengan kekuatan medan listrik E (Enet = 2a sin kx cos ωt). Kita sekarang dapat menerapkan kondisi batas ke fungsi gelombang stasioner. Misalnya Kita tahu bahwa ketika x = 0, Kita berada di permukaan kubus. Karena itu kekuatan medan listrik harus sama dengan 0. Mengapa baik untuk kasus x = 0, Kita melihat bahwa ini sesuai. Karena sin 0 = 0 maka Enet = 0.
Namun, Kita juga tahu bahwa ketika x = L, Kita berada di tepi kubus, atau permukaan kubus di depannya. Oleh karena itu, kekuatan medan juga harus sama dengan 0. Sekarang, jika Kita mengatur x = L dalam fungsi medan stasioner. Kita melihat bahwa ini hanya akan menjadi nol jika sinus kL sama dengan nol. Ini akan menjadi benar kapanpun kL adalah kelipatan bilangan bulat dari π radian. Dengan mengatur ulang ungkapan ini, Kita melihat bahwa kL = nπ. Dari sini, k = nπ/L.
Jika kita gabungkan dengan definisi dari k yang telah disebutkan di awal, k = 2π/λ. di mana λ adalah panjang gelombang, maka Anda dapat melihat bahwa Kita dapat menulis ulang panjang gelombang sebagai λ = 2L/n, di mana n adalah bilangan bulat seperti 1, 2, 3, dan seterusnya. Apa artinya ini memberi tahu Kita bahwa panjang gelombang hanya dapat mengambil nilai tertentu.
Sekarang jika Kita menulis ulang persamaan ini sebagai fungsi dari frekuensi (f = c/λ = nc/2L) . Kita tabu bahwa frekuensi gelombang juga hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat tertentu. Jadi mari Kita lihat seperti apa ini. Bayangkan Kita fokus hanya pada arah x. Di sini adalah dua sisi kubus yang dipisahkan oleh jarak L. Kita tahu bahwa panjang gelombang diberikan oleh λ = 2L/n, di mana n adalah bilangan bulat. Sehingga ketika n sama dengan satu, Kita melihat bahwa panjang gelombang diberikan oleh λ = 2L.
Bagaimana bila n = 2, dalam hal ini panjang gelombang diberikan oleh λ = L. Kita dapat melanjutkan n = 3, n = 4, n = 5, n = 6. Kita lihat bahwa hanya panjang gelombang tertentu yang dapat masuk ke dalam rongga atau kubus. Sekarang Kita juga tahu bahwa Kita dapat menulis ekspresi untuk frekuensi. Sehingga menambahkan frekuensi untuk setiap kasus ini Kita lihat bahwa frekuensi juga terdiri dari nilai bilangan bulat tertentu.
Kita dapat mewakili nilai frekuensi yang diizinkan ini dalam bentuk diagram yang terdiri dari sumbu. Yang mana pada sumbu tersebut, Kita dapat memplot titik pada setiap nilai integral dari n. Diagram semacam itu. memungkinkan Kita untuk menghitung jumlah keadaan yang diizinkan dalam rentang frekuensi tertentu. Misalnya Kita dapat menentukan jarak d dari titik asal sebagai (2L/c)f. Kita kemudian dapat menghitung jumlah keadaan yang diizinkan dalam rentang frekuensi f ke f + df dengan melihat perbedaan jarak dari asal d = (2L/c)(f + df). Karena titik-titik terdistribusi secara seragam sepanjang sumbu n.
Jelas bahwa jumlah titik yang berada di antara dua batas akan sebanding dengan df tetapi sebenarnya tidak bergantung pada f. Kita dapat melihat ini secara eksplisit dengan menghitung N(f)df, yang mewakili angka keadaan dalam interval df. Sekarang ini hanya (2l/c)(f + df) - (2l/c)f. Menyederhanakannya N(f)df = (2l/c)df . Sekarang, Kita perlu mengalikannya dengan faktor tambahan 2. Karena untuk setiap frekuensi yang diperbolehkan sebenarnya ada dua gelombang independen yang sesuai dengan 2 kemungkinan keadaan polarisasi gelombang elektromagnetik. Sehingga jawaban akhir kami untuk kerapatan keadaan adalah N(f) df = (4l/c)df.
Contoh ini memberi Kita kerangka kerja bagaimana Kita dapat menghitung jumlah kemungkinan gelombang berdiri dalam kubus Jeans secara 3 dimensi. sebelum Kita melangkah lebih jauh, mari Kita lihat generalisasi sederhana ke 2 dimensi. Mari Kita fokus pada dimensi x dan y pada kubus Jeans, Kita akan mempertimbangkan radiasi panjang gelombang λ yang merambat ke suatu arah yang didefinisikan oleh dua sudut, yaitu: α dan β, seperti yang terlihat pada diagram.
Radiasi dalam arah sembarang ini harus membentuk gelombang stasioner. karena Kita telah melihat bahwa komponen x dan y membentuk gelombang stasioner. Diagram menunjukkan lokasi beberapa node tetap gelombang berdiri ini dengan satu set garis tegak lurus terhadap arah propagasi. Jarak antara garis nodal radiasi ini adalah setengah panjang gelombang, seperti yang berlaku untuk semua pola gelombang stasioner.
Kami juga telah menunjukkan lokasi pada dua sumbu node dari gelombang komponen x dan y. Serta panjang gelombang yang sesuai di sepanjang sumbu x dan y dengan melihat geometri diagram ini. Kita melihat bahwa λ/2 = (λx/2) cos α. Kita dapat menulis persamaan ini sebagai λ = λx cos α. Kita papat menyusun ulang persamaan ini menjadi λx = λ/cos α. Kita dapat melakukan hal yang sama dalam arah y,λ = λy cos β. Kita dapat menyusun ulang persamaan ini menjadi λy = λ/cos β.
Sekarang Kita dapat menggunakan hubungan yang Kita dapatkan sebelumnya yang menghubungkan panjang gelombang dengan panjang kotak L dan bilangan bulat n. Menentukan ini dalam arah x, Kita menemukan λx = 2L/nx. Ini berarti, Kita dapat menulis nx = 2L cos α/λ. Demikian juga di arah y Kita dapat menulis ny = 2L cos β/λ. Pola ini menunjukkan generalisasi alami ke tampilan 3 dimensi, di mana Kita menulis λz = 2L/nz. Oleh karena itu, nz = 2L cos γ/λ,. di mana γ akan menjadi sudut antara gelombang normal dan sumbu z.
Jika Kita sekarang menulis nx² + ny² + nz², kita akan mendapatkan (2L/λ)²(cos ² α + cos ² β + cos ² γ). Akan tetapi, Kita tahu bahwa, cos ² α + cos ² β + cos ² γ = 1. Ini hanya versi tiga dimensi teorema pythagoras. Jadi nx² + ny² + nz² = (2L/λ)². Menyusun ulang persamaan ini, kita akan mendapatkan:
λ = 2L/√(nx² + ny² + nz²)
Sekarang, Kita akan menyatakan ini dalam bentuk frekuensi. Menggunakan fakta bahwa f = c/λ. Kita melihat bahwa f = (c/2L)√(nx² + ny² + nz²). Kita sekarang ingin gunakan ungkapan ini untukmenentukan kerapatan keadaan dalam Kubus Jeans tiga dimensi. Kita akan mengikuti logika yang sama dengan contoh satu dimensi yang Kita pertimbangkan sebelumnya. Karena Kita akan mencoba menghitung jumlah keadaan dalam rentang frekuensi tertentu.
Dengan mempertimbangkan sumbu di mana Kita memberi label nilai bilangan bulat n. Untuk menyederhanakan perhitungan kepadatan keadaan, Kita akan mempertimbangkan sebuah bola dengan pusatnya terletak di asal sumbu nx, ny dan nz. Kita akan fokus hanya pada nilai positif dari x, y, dan z, yang mewakili 1/8 volume seluruh bola. Kemudian menggunakan simetri untuk melengkapi gambar selanjutnya. Kita akan mempertimbangkan penampang dua dimensi dari oktan.
Sekarang mari Kita lihat ini sedikit lebih detail. jika Kita berasumsi bahwa bola Kita memiliki jari-jari r maka Kita dapat menentukan kerapatan keadaan dengan mempertimbangkan berapa banyak keadaan yang terletak di antara jari-jari r dan jari-jari r + dr, di mana dr adalah ruas jari-jari segmen kecil. Kita dapat menyatakan jari-jari bola dalam bentuk nx, ny, dan nz menggunakan ekspresi berikut:
r = √(nx² + ny² + nz²)
Kita kemudian dapat dengan rapi menggabungkan ini dengan ekspresi yang Kita peroleh sebelumnya untuk frekuensi. Kita melihat bahwa jari-jari dapat ditulis dalam frekuensi sebagai r = 2Lf/c. Kita kemudian menurunkan ekspresi ini terhadap f. Kita menemukan bahwa dr/df = 2L/c. Oleh karena itu dr = (2L/c)df. Jadi apa N(r)dr.
baik lihat dari diagram, bahwa ini hanya akan sama dengan volume segmen kecil berlabel dr yang untuk seluruh bola akan sama dengan permukaan luas bola, 4πr² dr. Namun karena Kita hanya berurusan dengan 1/8 volume seluruh bola, Kita perlu mengalikan ekspresi ini dengan 1/8. Sehingga Kita mendapatkan N(r) dr = (1/8)(4πr²) dr. Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi πr²dr/2.
Kita dapat menulis ulang ungkapan ini dalam bentuk frekuensi daripada radius dengan menggunakan hubungan yang sebelumnya Kita peroleh, Kita menemukan bahwa N(f)df = (π/2)(3L/c)³f²df . Persamaan ini disederhanakan menjadi N(f)df = (4πL³/c³)f²df . Lagi, Kita perlu mengalikan pernyataan ini dengan 2 untuk menghitung dua keadaan polarisasi yang mungkin dari radiasi elektromagnetik dan ini (N(f)df = (4πL³/c³)f²df) sekarang merupakan pernyataan akhir Kita untuk jumlah keadaan yang ada dalam rentang frekuensi tertentu.
Perhatikan bahwa skala angka dengan f² menunjukkan bahwa jumlah keadaan tumbuh dengan cepat pada frekuensi tinggi atau panjang gelombang pendek. Sekarang, Kita memiliki ekspresi yang memungkinkan Kita menghitung jumlah frekuensi gelombang yang diizinkan di dalam kubus Jeans. Langkah Kita selanjutnya adalah menghitung energi rata-rata dari masing-masing gelombang ini, dan ke sini.
Kita sekarang beralih untuk menghitung energi setiap gelombang Rayleigh dan Jeans bergantung pada hasil yang mapan dari teori klasik termodinamika yang disebut persamaan "teorema ekipartisi". Menurut teorema ini, jika Anda memiliki gas pada kesetimbangan termal yang terdiri dari miliaran dan miliaran partikel kecil dalam gerakan acak, maka energi termal yang tersedia dalam sistem akan rata-rata terdistribusi secara merata di antara partikel-partikel dalam gas.
pertimbangkan misalnya sebuah kotak mengandung gas monoatomik, yaitu: setiap molekul terdiri dari satu atom. Dalam fisika klasik Anda dapat menganggap setiap atom sebagai bola kecil yang bergerak secara acak di dalam kotak bertumbukan dengan atom lain, atau bertumbukan dengan dinding kotak. Dalam hal ini energi kinetik dari setiap atom dapat dibagi menjadi tiga mode yang sesuai dengan gerakan dalam arah x, y, dan z.
Mengingat jumlah atom yang sangat besar dalam gas, rata-rata nilai x, y, dan z untuk energi kinetik adalah sama. Dengan kata lain jika Anda menambahkan energi x joule ke kotak, maka x/3 joule akan muncul sebagai peningkatan energi kinetik di masing-masing dari tiga arah koordinat. Untuk sistem dalam kesetimbangan termal setiap mode atau derajat kebebasan memiliki energi rata-rata sama dengan ½kT, di mana k mengacu pada konstanta Boltzmann, k = 1.38x10-23 J/K. Kamu dapat memikirkan konstanta Boltzmann sebagai mewakili nilai tukar antara mata uang energi dan suhu.
Misalnya gas monoatomik yang memiliki tiga kemungkinan derajat kebebasan yang sesuai dengan gerak di masing-masing dari tiga arah koordinat memiliki energi rata-rata sebesar 3(½kT), atau (3/2)kT. Untuk menemukan energi total gas, Anda hanya perlu mengalikan energi rata-rata setiap partikel dengan jumlah partikel yang diberikan dalam contoh, energi rata-rata dikali N.
Jadi bagaimana ini berlaku untuk gelombang? Rayleigh dan Jeans beralasan bahwa hukum statistik yang sama harus berlaku untuk gelombang di dalam kubus. Karena hukum kesetaraan-partisi energi diyakini berlaku untuk setiap sistem klasik yang mengandung dalam kesetimbangan sejumlah besar entitas dari jenis yang sama. Untuk kasus yang dihadapi entitas ini gelombang stasioner dalam kubus masing-masing dengan satu derajat kebebasan sesuai dengan amplitudo medan listriknya. Sehingga rata-rata energi kinetiknya semua memiliki nilai yang sama ½kT.
Namun setiap gelombang berdiri yang berosilasi secara sinusoidal memiliki energi total yang dua kali energi kinetik rata-ratanya. Dengan kata lain energi total sebenarnya adalah kT. Ini adalah sifat umum dari sistem fisik yang memiliki satu derajat kebebasan yang menjalankan osilasi harmonik sederhana dalam waktu. Perlu berhenti sejenak untuk mempertimbangkan dari mana hasil ini berasal.
Ini akan menjadi sangat penting nanti ketika Kita mencoba untuk menemukan penyebab bencana ultraviolet. Fakta bahwa energi rata-rata sama dengan kT berasal dari hasil yang lebih komprehensif dari mekanika statistik klasik yang disebut distribusi Boltzmann. Fungsi distribusi Boltzmann memberikan informasi lengkap tentang energi entitas di sistem, termasuk tentu saja nilai rata-rata energi yang dapat dihitung dengan menggunakan ekspresi berikut.
E = ∫0∞Ee-E/kTdE/∫0∞e-E/kTdE
Meskipun ekspresi ini terlihat agak mengkhawatirkan sebenarnya cukup mudah. Integran dalam pembilang dapat dianggap sebagai energi tertimbang oleh probabilitas. bahwa entitas akan ditemukan dengan energi ini. Dengan mengintegrasikan semua energi yang mungkin, nilai rata-rata energi diperoleh. Di sisi lain penyebut dapat dianggap mewakili probabilitas menemukan entitas dengan energi apa pun.
Sekarang integral dalam penyebutnya langsung dan dapat ditemukan agar sama dengan kT.
∫0∞e-E/kTdE = -kTe-E/kT|0∞ = kT
Integral dalam pembilang membutuhkan sedikit lebih banyak pekerjaan. Namun Kita dapat menggunakan integrasi parsial. Dengan memperhatikan bahwa hal ini mungkin untuk menggunakan aturan hasil kali untuk menulis ekspresi berikut:
d/dE (Ee-E/kT) = e-E/kT + E(-1/kT)e-E/kT
jika Kita mengintegrasikan kedua sisi, Kita melihat bahwa persamaan tersebut dapat ditulis sebagai persamaan berikut:
∫0∞d/dE (Ee-E/kT) = ∫0∞e-E/kT + ∫0∞E(-1/kT)e-E/kT
Sedikit penataan ulang ini, untuk memungkinkan Kita untuk mengintegrasikan pembilangnya dan Kita menemukan bahwa hasilnya sama dengan (kT)²
∫0∞Ee-E/kTdE = kT∫0∞e-E/kT - kT∫0∞d/dE (Ee-E/kT) = (kT)²
Menyatukan semuanya, Kita menemukan bahwa energi rata-rata sama dengan (kT)²/kT, menyederhanakannya menjadi hanya kT, seperti yang diharapkan. Kita akhirnya berada dalam posisi untuk menggabungkan hasil Kita. Kita telah melihat bahwa jumlah gelombang dalam kubus Jeans dapat dihitung menggunakan fungsi kerapatan keadaan (N(f)df = (8πL³/c³)f²df) dan Kita baru saja melihat bahwa energi rata-rata setiap gelombang diberikan oleh teorema ekuipartisi (E = kT ).
Jika Kita ingin menghitung kerapatan energi di dalam kubus, maka Kita perlu menghitung energi per satuan volume. jelas bahwa energi total dapat dihitung dengan mengalikan kerapatan keadaan dengan energi rata-rata per keadaan dan kemudian Kita dapat membaginya dengan volume kubus. Untuk menemukan kerapatan energi, ungkapan ini dapat ditulis sebagai:
ρ(f)df = [(8πL³/c³)f²df][1/L³]
Di mana ρ menyatakan kerapatan energi dan df interval frekuensi yang diselidiki. Kita dapat menyederhanakan ungkapan ini dan sampai pada persamaan akhir (ρ(f)df = (8π/c³)f²df ) untuk kerapatan energi yang dinyatakan dalam frekuensi. Bagaimana jika Kita ingin menyatakan kerapatan energi dalam panjang gelombang. Dalam hal ini Kita dapat menghubungkan kerapatan energi dalam panjang gelombang dengan kerapatan energi dalam frekuensi. Menggunakan persamaan berikut:
ρ(λ)dλ = -ρ(f)df
Di mana dalam persamaan ini kedua ρ(f) dan ρ(λ) adalah positif, tanda minus berasal dari fakta bahwa df sama dengan minus dλ, mengapa ini benar? ini benar, karena ketika frekuensi gelombang meningkat, panjang gelombang berkurang dan ini ditandai dengan tanda minus. sekarang Kita tahu bahwa frekuensi diberikan oleh kecepatan cahaya dibagi dengan panjang gelombang (f=c/λ) untuk gelombang elektromagnetik. Oleh karena itu Kita dapat menulis df dengan:
df = -c/λ²dλ
Menggabungkan semua ini, Kita kemudian dapat menulis (ρ(λ)dλ = 8πkT/λ4) dan ini mewakili kerapatan energi dalam panjang gelombang. Jadi seperti apa fungsi ini, jika Kita memplot kerapatan energi pada sumbu y dan panjang gelombang pada sumbu x , maka Kita tahu seperti apa fungsi yang Kita inginkan. Karena Kita telah melihat dari percobaan kurva halus berikut.
Namun ketika Rayleigh dan Jeans memplot fungsinya, mereka menemukan hasil yang mengkhawatirkan berikut. Kita melihat bahwa pada panjang gelombang kecil kerapatan energi meningkat dengan cepat, ini peningkatan cepat dapat dilihat dari fungsi kerapatan energi (ρ(λ)dλ = 8πkT/λ4) . Kita melihat bahwa ketika λ kecil,maka λ4 akan menjadi sangat kecil, dan oleh karena itu kerapatan energi akan menjadi sangat besar.
jika Kita memikirkannya dalam hal frekuensi maka panjang gelombang kecil sesuai dengan frekuensi tinggi. Karena tidak ada batas atas frekuensi di dalam kubus Jeans. Karena frekuensinya cenderung tak terhingga, begitu pula kepadatan energi, dan hasil bencana inilah yang dikenal sebagai bencana ultraviolet.
Rayleigh dan Jeans telah menunjukkan bahwa yang paling dipahami hukum fisika klasik tidak mampu menjelaskan bahkan fenomena yang paling umum, yaitu: sifat radiasi benda panas. Tetapi tidak semua hilang dari abu-abu fisika klasik akan muncul kerangka revolusioner baru yang tidak hanya akan mengubah hukum fisika tetapi kehidupan di bumi itu sendiri.
Max Planck adalah seorang fisikawan Jerman sederhana yang mendedikasikan sebagian besar hidupnya untuk mempelajari termodinamika dalam kuliah yang sekarang terkenal yang disampaikan pada tanggal 14 Desember 1900. Planck mengumumkan bahwa kesimpulan yang diperoleh Rayleigh dan Jeans dapat diperbaiki. Bahaya dari bencana ultraviolet dihindari jika seseorang mendalilkan bahwa energi hanya dapat ada dalam bentuk paket diskrit tertentu yang disebut kuanta
Untuk mencapai kesimpulan ini Planck telah bekerja tanpa lelah pada masalah selama beberapa tahun kadang-kadang putus asa pada kesulitan yang dia temui, Planck memutuskan untuk fokus pada hasil eksperimen dan membandingkannya dengan kurva Rayleigh dan Jeans. Meskipun hasil Rayleigh dan Jeans terurai pada panjang gelombang kecil. Sebenarnya cocok dengan data eksperimen cukup baik untuk panjang gelombang panjang yang menunjukkan bahwa energi rata-rata mungkin sama dengan kT dalam batas panjang gelombang panjang.
Di sisi lain jelas dari data eksperimen bahwa energi rata-rata harus cenderung 0 untuk panjang gelombang pendek atau frekuensi tinggi. Planck menyimpulkan dari data bahwa energi rata-rata setiap gelombang harus bergantung pada frekuensi gelombang dan oleh karena itu ekuipartisi energi harus ditinggalkan. Kontribusi besar Planck datang ketika dia menyadari bahwa dia dapat memperoleh cutoff energi yang diperlukan jika dia memodifikasi perhitungan distribusi Boltzmann dari energi rata-rata.
Yang dia lakukan ini dengan memperlakukan energi seolah-olah itu adalah variabel diskrit, alih-alih variabel kontinu fisika klasik khususnya. Dia membayangkan bahwa energi hanya dapat mengambil nilai-nilai diskrit tertentu (E = 0, ε, 2ε, 3ε, ...) dan bahwa energi total suatu objek akan menjadi kelipatan integral dari jumlah energi dasar (nε). Jadi apa efeknya ternyata ini memiliki efek yang sangat besar pada energi rata-rata yang dihitung menggunakan distribusi Boltzmann khususnya. Perubahan dari energi kontinu ke energi diskrit sesuai dengan penggantian integral dengan jumlah dalam persamaan energi rata-rata.
E = Σ0∞ nεe-nε/kT/Σ0∞ e-nε/kT
Jadi bagaimana Kita mengevaluasi ungkapan ini dengan baik. Jumlah penyebut relatif mudah, karena Kita melihat bahwa ini hanyalah penjumlahan geometris. Sehingga, Kita dapat menuliskannya sebagai:
Σ0∞ e-nε/kT = 1/(1 - e-nε/kT)
Untuk pembilang memerlukan sediki lebih banyak usaha. bahwa Kita dapat menerapkan trik yang rapi dan menulis ulang jumlahnya dalam bentuk diferensial. Di mana Kita memiliki mendefinisikan f(ε) sebagai jumlah yang sama yang muncul dalam penyebut ekspresi energi rata-rata.
E = Σ0∞ nεe-nε/kT = -kTε df(ε)/dε
dimana, f(ε) = 1/(1 - e-ε/kT)
Jika Kita kemudian menghitung df(ε) terhadap dε, Kita menemukan ekspresi yang agak mengerikan berikut:
df(ε)/dε = (-1/kT)(e-ε/kT/(1 - e-ε/kT)²)
Menggabungkan semuanya, Kita menemukan ekspresi berikut untuk energi rata-rata:
E = ε/(eε/kT - 1)
Apa artinya semua ini? baik pertama-tama perhatikan bahwa ketika ε jauh lebih kecil dari kT, ε/kT sangat kecil. Sehingga Kita dapat memperkirakan eksponensial dengan beberapa suku pertama dari deret Taylor. Perluasan eksponensial ini menunjukkan kepada Kita bahwa dalam batas ε kecil, energi rata-rata sama dengan kT.
ε << kT → e ε/kT ≈ 1 + ε/kT → E ≈kT
Di sisi lain, Kita melihat bahwa dalam batas ε besar, eε/kT dalam penyebut cenderung tak terhingga, peningkatannya lebih cepat daripada ε dalam pembilang. Oleh karena itu energi rata-rata cenderung 0.
ε << ∞ → e ε/kT ≈ ∞ → E ≈ 0
Sekarang seperti yang telah Kita lakukan. Jika dilihat dari analisis, ata eksperimen energi rata-rata cenderung kT sebagai frekuensi cenderung nol, dan energi rata-rata cenderung nol. Ketika frekuensi cenderung tak terhingga
E → kT maka f → 0
E → 0 maka f → ∞
Kita baru saja melihat bahwa dari analisis teoritis energi rata-rata juga cenderung kT karena epsilon cenderung nol sedangkan energi rata-rata cenderung nol karena epsilon cenderung tak terhingga
E → kT maka ε → 0
E → 0 maka ε → ∞
Dengan membandingkan dua set pengamatan ini, Planck menyadari bahwa apa pun ε itu pasti merupakan fungsi peningkatan frekuensi. Pekerjaan numerik terperinci oleh Planck membuatnya mengusulkan bahwa ε energi sebanding dengan frekuensi. Dia kemudian memperkenalkan konstanta proporsionalitas. Sehingga dia bisa menulis ε = hf.
Dia akhirnya bisa menulis ulang energi rata-rata, E = hf/(ehf/kT - 1). Dipersenjatai dengan perhitungan baru ini, planck mampu menggabungkan hasil ini energi rata-rata dengan kerapatan fungsi keadaan untuk mendapatkan ekspresi baru kerapatan energi radiator benda hitam:
ρ(f)df = (8πf²/c³)(hf/(ehf/kT - 1)) df
Menulis ulang ini dalam bentuk panjang gelombang dia menurunkan fungsi kerapatan energi berikut:
ρ(λ)dλ = (8πhc/λ⁵)(1/(ehc/λkT - 1)) dλ
Jadi seperti apa bentuknya saat papan memplot fungsi densitas energinya yang baru, ia menemukan kesesuaian yang luar biasa dengan data eksperimen, Lebih jauh lagi, fungsinya memiliki bonus tambahan untuk mereduksi fungsi densitas energi Rayleigh - Jeans dalam batas panjang gelombang panjang seperti yang dapat dilihat dengan melihat beberapa suku pertama dari taylor.
λ → ∞ maka ehc/λkT = 1 + hc/λkT
ρ(λ)dλ = (8πkT/λ⁴)dλ
Pekerjaan eksperimental terperinci pada tahun 1916 oleh William Koblenz memberikan konfirmasi yang luar biasa dari fungsi kerapatan energi Planck. Garis padat dalam grafik ini mewakili kurva prediksi teoretis Planck dan lingkaran mewakili hasil eksperimen. Koblenz menggunakan hasilnya untuk menentukan nilai untuk konstanta planck h yang sangat dekat dengan nilai yang diterima saat ini (h = 6.57x10-34 Js).
Meskipun pekerjaan Planck didasarkan pada sifat radiasi benda panas, hipotesis kuantumnya akan menandakan lahirnya seluruh cabang fisika baru, khususnya kesadarannya bahwa setiap sistem fisik mengalami harmonik sederhana. gerak hanya dapat memiliki energi yang memenuhi hubungan E = nhf akan merevolusi bagaimana fisikawan menggambarkan struktur materi dengan cara memvisualisasikan ini.
Pertimbangkan energi yang diperbolehkan dalam sistem klasik yang berosilasi secara sinusoidal dengan frekuensi f dalam hal ini energi didistribusikan secara kontinu seperti yang dapat dilihat dalam diagram. Sedangkan energi yang diperbolehkan menurut postulat Planck terdistribusi secara diskrit. Karena mereka hanya dapat mengasumsikan nilai nhf, Kita katakan bahwa energi dikuantisasi dengan n menjadi bilangan kuantum.
Dari keadaan kuantum yang diperbolehkan 13 tahun kemudian Niels Bohr akan menggunakan kuantisasi energi Planck berhipotesis untuk mengembangkan model tingkat energi atomnya dan memulai bidang mekanika kuantum. Bertahun-tahun kemudian, Planck menggambarkan keadaan pikirannya selama tahun-tahun produktif itu sebagai berikut.
"Cenderung damai dan menolak semua petualangan yang meragukan,tetapi saat itu saya telah bergulat dengan tidak berhasil selama enam tahun dengan masalah keseimbangan antara radiasi dan materi. Saya tahu bahwa masalah ini sangat penting bagi fisika, oleh karena itu interpretasi teoretis harus ditemukan dengan biaya berapa pun tidak peduli seberapa tinggi".
Pemateri: A PhD in theoretical physics, specialising in string theory
Judul Asli: What is the Ultraviolet Catastrophe
Sumber: https://www.youtube.com/@PhysicsExplainedVideos
Komentar
Posting Komentar