Kuliah Mekanika Kuantum 02 Kelinearan Persamaan Schrödinger

Jadi di sini ada sesuatu yang lucu. Anda mungkin berkata, Oke, apa yang lebih sederhana? Teori yang linear atau teori yang tidak linear? Dan jawabannya, tentu saja, teori linier jauh lebih sederhana. Persamaan umum Maxwell adalah linier. Teori relativitas Einstein sangat nonlinear, sangat rumit. Bagaimana dengan mekanika klasik? Apakah mekanika klasik linier atau nonlinier? Apa yang kita pikirkan?

Anda mungkin mengira itu linier, karena seharusnya sederhana, tetapi sebenarnya tidak. Ini sebenarnya sangat nonlinier. Newton dapat memecahkan masalah dua objek tetapi dia tidak dapat menyelesaikan masalah tiga objek. Sistem yang terdiri dari lebih dari tiga objek, Anda tidak dapat mengsuperposisikan solusi yang Anda dapatkan dengan dua objek. Ini luar biasa rumit, mekanika klasik.

Mari ku tunjukkan. Jika Anda memiliki gerak dalam satu dimensi, dalam 1D, Anda memiliki persamaan gerak, gerak dalam satu dimensi, dan ada potensial V dari x, yang kali ini bebas-- sebuah partikel bergerak dalam satu dimensi x dengan pengaruh potensial, V dari x.

Yang kedua-- variabel dinamis adalah x dari t. Variabel dinamis. Dan persamaan gerak adalah m$\frac{{\partial }^{2}x}{\partial x^2}$= -V'(x(t)). Jadi izinkan saya menjelaskan ini. Ini adalah gaya yang sama dengan massa kali percepatan. Ini (m) adalah massa , ini $\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ adalah percepatan, turunan kedua dari posisi, dan gaya adalah minus turunan dari potensial yang dievaluasi pada posisi (V'(x(t))).

Anda tahu, turunan dari potensial-- jika Anda berpikir tentang potensial, turunan dari potensial di sini positif, dan Anda tahu jika Anda memiliki massa di sini, ia cenderung ke kiri, jadi gayanya ada di kiri, jadi ada tanda minusnya. Jadi V' adalah turunan dari V sehubungan dengan argumennya.

Dan masalahnya adalah sementara ini, turunan $\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ adalah operasi linier. Jika Anda mengambil dua turunan dari sejumlah hal, Anda mengambil dua turunan dari yang pertama ditambah dua turunan dari yang kedua. Tapi ya, sisi ini ($\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ ) linear, tapi sisi ini (V'(x(t))) mungkin tidak linear. Karena potensial bisa sewenang-wenang. Dan kebalikannya-- misalkan potensial-nya adalah kubik dalam x. V(x) seperti x₃. Maka turunan dari V(x) menjadi seperti x², dan x² bukanlah fungsi linier. Jadi ini, persamaan Newton, bukan persamaan linier. Dan karena itu, rumit untuk dipecahkan. Sangat rumit untuk dipecahkan.

Akhirnya, kita bisa membahas kasus kita, mekanika kuantum. Jadi dalam mekanika kuantum, apa yang kita miliki? Mekanika kuantum bersifat linier. Pertama, Anda memerlukan persamaan, dan persamaan siapa itu? Persamaan Schrodinger, 1925. Dia menulis persamaan untuk variabel dinamis, dan variabel dinamis adalah sesuatu yang disebut fungsi gelombang (ψ). Fungsi gelombang ini dapat bergantung pada t-- bergantung pada waktu-- dan mungkin juga bergantung pada hal-hal lain. Dan dia menggambarkan dinamika sistem kuantum saat berevolusi dalam waktu.

Ada fungsi gelombang, dan Anda memiliki persamaan untuk fungsi gelombang ini. Dan apa persamaan untuk fungsi gelombang ini? Ini adalah persamaan universal-- iħ turunan parsial ψ sehubungan dengan waktu sama dengan $\hat{H}\psi$, di mana $\hat{H}$ disebut Hamiltonian dan merupakan operator linier.

$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi$$

Itu sebabnya saya harus menjelaskan sedikit apa itu operator linier. Ini adalah struktur umum persamaan Schrodinger-- turunan waktu ($\frac{\partial \psi }{\partial t})$ dan operator linier ($\hat{H}$).

Jadi jika Anda ingin menulis persamaan Schrodinger sebagai Lψ = 0, maka Lψ akan melakukannya didefinisikan iħ$\frac{\partial \psi }{\partial t})$ - $\hat{H}$ψ. Maka ini adalah persamaan Schrodinger (Lψ = 0). Persamaan ini di sini (iħ$\frac{\partial \psi }{\partial t})=\hat{H}\psi )$ adalah persamaan Schrodinger. Dan seperti yang Anda lihat, ini adalah persamaan linier. Anda dapat memeriksanya, periksa apakah L adalah operator linier.

Oleh karena itu, secara alami linier, Anda dapat melihat, karena Anda melakukannya secara berbeda, karena turunan terhadap waktu adalah operasi linier. Jika Anda memiliki ∂/∂t beberapa kali suatu fungsi, angkanya keluar, Anda membedakan fungsinya. ∂/∂t dari jumlah dua fungsi, Anda membedakan yang pertama, Anda membedakan. Jadi ini linier dan $\hat{H}$ kami katakan linier, jadi L akan menjadi linier dan persamaan Schrodinger akan menjadi persamaan linier, dan oleh karena itu, Anda akan mendapat keuntungan besar setiap kali Anda menemukan solusi , Anda dapat menskalakannya, menambahkannya, menyatukannya, menggabungkannya dalam superposisi, dan menemukan solusi baru.

Jadi dalam pengertian itu, sungguh luar biasa bahwa mekanika kuantum lebih sederhana daripada mekanika klasik. Dan faktanya, Anda akan melihat sepanjang semester ini bagaimana matematika dan hal-hal yang kita lakukan lebih sederhana dalam mekanika kuantum, atau lebih elegan, lebih indah, lebih koheren, lebih sederhana dan sangat bagus.

Oke, i adalah akar kuadrat dari minus 1 (i = √-1), adalah satuan imajiner, dan itulah yang akan kita bicarakan selanjutnya tentang perlunya bilangan kompleks. ħ , ya, itu angka. Itu muncul dalam mekanika kuantum sejak awal. Ini disebut konstanta Planck dan itu dimulai ketika Planck mencoba menyesuaikan spektrum nilai hitam dan dia menemukan kebutuhan untuk menempatkan konstanta di sana, dan kemudian, Einstein menemukan bahwa itu sangat relevan, jadi ya, itu adalah angka.

Untuk setiap sistem fisik yang Anda miliki, Anda akan memiliki fungsi gelombang dan Anda akan memiliki Hamiltonian, dan Hamiltonian adalah untuk Anda ciptakan atau untuk Anda temukan. Jadi jika ada partikel yang bergerak pada garis, fungsi gelombang akan bergantung pada waktu dan x, ψ(t,x). Jika Anda memiliki partikel yang bergerak dalam tiga dimensi, itu akan tergantung pada vektor x, ψ(t,$\overrightarrow{x}$).

Itu mungkin bergantung pada hal-hal lain juga atau mungkin, seperti, satu partikel memiliki beberapa fungsi gelombang dan itu terjadi ketika Anda memiliki partikel dengan putaran. Jadi secara umum, selalu waktu, kadang posisi, mungkin ada kasus yang tidak bergantung pada posisi. Anda memikirkan sebuah elektron di beberapa titik di ruang angkasa dan itu tetap-- Anda menguncinya di sana dan Anda ingin memahami fisika elektron yang terkunci pada tempatnya, dan kemudian posisinya tidak relevan. Jadi apa yang dilakukannya dengan putarannya relevan dan kemudian Anda mungkin memerlukan lebih dari satu fungsi gelombang-- apa yang menggambarkan putaran ke atas dan yang menggambarkan putaran ke bawah?

Lucu bahwa Schrodinger menulis persamaan ini dan ketika ditanya, jadi apa fungsi gelombangnya? Dia berkata, saya tidak tahu. Tidak ada interpretasi fisik untuk fungsi gelombang yang jelas bagi orang-orang yang menemukan mekanika kuantum. Butuh beberapa bulan sampai Max Born mengatakan itu ada hubungannya dengan probabilitas, dan itulah yang akan kita dapatkan selanjutnya. Poin kita selanjutnya adalah perlunya bilangan kompleks dalam mekanika kuantum.

---

Pemateri: Prof. Barton Zwiebach
Judul Asli: Linearity and nonlinear theories. Schrödinger's equation
Sumber: https://www.youtube.com/@mitocw

---