Putaran 1
1. Bilangan bulat 1, 2, 3, . . . , 2016 ditulis dalam basis 10, masing-masing muncul tepat satu kali. Setiap digit dari 0 hingga 9 muncul berkali-kali dalam daftar. Berapa banyak digit dalam daftar yang ganjil? Misalnya, 8 digit ganjil muncul dalam daftar 1, 2, 3, . . . , 11
2. Untuk setiap bilangan real positif \( x \), kita definisikan { \( x\) } sebagai bilangan yang lebih besar dari \( x \) dan \( 1/x \), dengan {1} = 1 . Temukan, dengan bukti, semua bilangan real positif \( y \) sedemikian rupa sehingga
5\(y\){8\(y\)}{25\(y\)} = 1
3. Tentukan semua pasangan ( \( m \), \( n \)) bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan \( n^2 − 6n = m^2 + m − 10 \).
4. Naomi dan Tom bermain permainan, dengan Naomi sebagai pemain pertama. Mereka bergiliran memilih bilangan bulat dari 1 hingga 100, setiap kali memilih bilangan bulat yang belum pernah dipilih oleh siapa pun sebelumnya. Seorang pemain kalah dalam permainan jika, setelah giliran mereka, jumlah semua bilangan bulat yang dipilih sejak awal permainan (oleh mereka berdua) tidak dapat ditulis sebagai selisih dua bilangan kuadrat. Tentukan apakah salah satu pemain memiliki strategi kemenangan, dan jika ya, yang mana
5. Misalkan ABC adalah segitiga dengan \( \angle A \lt \angle B \lt 90^{\circ} \) dan misalkan \( \Gamma \) adalah lingkaran yang melalui A, B dan C. Garis singgung \( \Gamma \) di A dan C bertemu di P. Ruas garis AB dan PC yang dihasilkan bertemu di Q. Diketahui bahwa:
\[ [ACP] = [ABC] = [BQC] \]
Buktikan bahwa \( \angle BCA = 90^{\circ} \) . Di sini \( [XYZ] \) menyatakan luas \( \triangle XYZ \).
6. Bilangan bulat positif berurutan \( m \), \( m+1 \), \( m+2 \), dan \( m+3 \) dapat dibagi oleh bilangan bulat positif ganjil berurutan \( n \), \( n+2 \), \( n+4 \), dan \( n+6 \). Tentukan \( m \) terkecil yang mungkin dalam suku \( n \).
Putaran 2
1. Soal ini membahas tentang segitiga yang memiliki titik sudut dengan koordinat bilangan bulat pada bidang koordinat \( x \), \( y \) yang biasa. Untuk berapa banyak bilangan bulat positif \( n \lt 2017 \), apakah mungkin untuk menggambar segitiga siku-siku sama kaki sedemikian rupa sehingga tepat \( n \) titik pada kelilingnya, termasuk ketiga titik sudutnya, memiliki koordinat bilangan bulat?
2. Misalkan \( \lfloor x \rfloor \) menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan bilangan riil \( x \). Perhatikan deret \( a_1 \), \( a_2 \), . . . yang didefinisikan oleh
\[ a_n = \frac{1}{n} \left ( \left\lfloor\frac{n}{1} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{2} \right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{n}{n} \right\rfloor \right) \]
untuk bilangan bulat \( n \ge 1 \). Buktikan bahwa \( a_{n+1} \gt a_n \) untuk \( n \) tak terhingga banyaknya, dan tentukan apakah \( a_{n+1} \lt a_n \) untuk \( n \) tak terhingga banyaknya.
[Berikut adalah beberapa contoh penggunaan \( \lfloor x \rfloor \) : \( \lfloor \pi \rfloor = 3 \) ,\( \lfloor 1729 \rfloor = 1729 \) dan \( \lfloor \frac{2017}{1000} \rfloor = 2 \).]
3. Perhatikan sebuah segi empat siklik \( ABCD \). Diagonal \( AC \) dan \( BD \) bertemu di \( P \), dan sinar \( AD \) dan \( BC \) bertemu di \( Q \). Garis bagi sudut dalam sudut \( \angle BQA \) bertemu \( AC \) di \( R \) dan garis bagi sudut dalam sudut \( \angle APD \) bertemu \( AD \) di \( S \). Buktikan bahwa \( RS \) sejajar dengan \( CD \).
4. Brankas Bobby yang penuh jebakan memerlukan kode 3 digit untuk membukanya. Alex memiliki alat ukur yang dapat menguji kombinasi tanpa mengetiknya di brankas. Alat ukur tersebut akan merespons Gagal jika tidak ada satu digit pun yang benar. Jika tidak, alat ukur tersebut akan merespons Tutup, termasuk jika semua digitnya benar. Misalnya, jika kode yang benar adalah 014, maka respons untuk 099 dan 14 keduanya Tutup, tetapi respons untuk 140 adalah Gagal. Jika Alex mengikuti strategi yang optimal, berapa jumlah percobaan terkecil yang diperlukan untuk menjamin bahwa ia mengetahui kode yang benar, apa pun itu?
Olimpiade: British Mathematical Olympiad
Tahun: Round 1: Friday, 2 December 2016 and Round 2 : Thursday, 26 January 2017
Komentar
Posting Komentar