1. 100 siswa, diberi nomor 1 sampai 100, dibagi menjadi 20 kelompok, masing-masing kelompok beranggotakan 5 siswa. Siswa dengan jumlah siswa terbanyak di setiap kelompok menjadi ketua kelompok. Berapa jumlah maksimal ketua kelompok yang bilangan primanya?
2. Misalkan \( n \) adalah bilangan tiga digit yang habis dibagi dengan hasil perkalian digit-digitnya. Carilah nilai \( n \) terbesar yang mungkin.
3. Misalkan a dan b adalah bilangan real bukan nol sehingga \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 5 \) dan \( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} = 12 \) . Carilah nilai \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \).
4. Tiga siswa masing-masing secara acak memilih bilangan prima kurang dari 100, lalu guru mengalikan ketiga bilangan prima yang dipilih tersebut. Berapa peluang hasil perkalian yang diperoleh guru tersebut habis dibagi 2021?
5. Ann, Ben, dan Cat bergabung dalam permainan sebagai satu tim. Masing-masing dari mereka harus menjawab 2021 pertanyaan ya-tidak secara mandiri (pertanyaannya sama untuk semua orang), di mana masing-masing pertanyaan harus memilih 'ya' atau 'tidak'. Setelah itu, jawaban Ann dan Ben dibandingkan dan jumlah pertanyaan di mana mereka memilih jawaban yang sama dicatat. Hal yang sama dilakukan untuk jawaban Ann dan Cat, serta untuk jawaban Ben dan Cat. Skor tim dalam permainan adalah angka terbesar yang dicatat. Temukan skor minimum yang mungkin dari tim dalam permainan tersebut
6. Misalkan \( G \) adalah titik berat \( \triangle ABC \) . Jika jarak \( G \) ke sisi \( AB \), \( BC \), dan \( CA \) berturut-turut adalah 20, 12, dan 15, tentukan panjang \( BG \).
7. Temukan jumlah semua akar real persamaan \( (2 \sqrt[5]{x + 1} - 1)^4 + (2 \sqrt[5]{x + 1} - 3)^4 = 16 \) .
8. Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang tidak melebihi 2021. Jika masing-masing \( n \), \( n+1 \), dan \( n+2 \) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua (mungkin sama) pangkat integral tak-negatif dari 2, temukan penjumlahan semua nilai \( n \) yang mungkin.
9. Dalam sebuah kantong terdapat 2021 bola, bernomor 1 hingga 2021. Dua bola diambil dari kantong secara acak. Berapa peluang bahwa rasio angka kedua bola yang diambil adalah pangkat 2?
10. Seorang guru ingin mengajukan beberapa pertanyaan untuk ujian penjumlahan. Setiap pertanyaan harus melibatkan penjumlahan sepasang bilangan bulat positif dua digit (mungkin sama), dan tidak boleh ada pengurangan dalam proses tersebut. Jawabannya juga harus berupa angka dua digit. Berapa banyak pertanyaan berbeda yang dapat diajukan guru? (Hasil dari menukar urutan dua angka yang berbeda dianggap sebagai pertanyaan yang berbeda, misalnya 12 34 + dan 34 12 + dianggap sebagai dua pertanyaan.)
11. Misalkan \( (21x + 21y)^{2021} + x^{2021} + 484x + 440y = 0 \) untuk beberapa bilangan riil bukan nol \( x \) dan \( y \). Carilah \( \frac{x}{y} \)
12. \( OABC \) adalah trapesium dengan \( OC \parallel AB \) dan \( \angle AOB = 37^{\circ} \) . Selanjutnya, \( A \), \( B \), \( C \) semuanya terletak pada keliling lingkaran yang berpusat di \( O \). Garis bagi tegak lurus \( OC \) bertemu \( AC \) di \( D \). Jika \( \angle ABD = x^{\circ} \), carilah \( x \).
13. Temukan bilangan bulat positif terkecil \( n \) sehingga empat digit terakhir dari \( n^3 \) (dari kiri ke kanan) adalah 2, 0, 2 dan 1.
14. Ada 21 siswa dalam satu kelas, yang diberi nomor 1 sampai 21. Dalam setiap pelajaran, tiga siswa bertanggung jawab untuk menyiapkan catatan, dan di antara mereka, siswa yang nomornya di tengah akan memberikan presentasi di depan kelas. Pada akhir tahun ajaran, ditemukan bahwa untuk setiap tiga siswa, mereka telah menyiapkan catatan bersama-sama tepat satu kali. Berapa jumlahnya jika kita jumlahkan jumlah siswa yang memberikan presentasi di setiap pelajaran?
15. Ada beberapa pecahan biasa dengan sifat-sifat berikut: pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat positif dua digit dengan tepat satu digit yang sama, dan digit yang sama ini bukan nol. Ketika digit yang sama ini dihilangkan, hasilnya sama dengan pecahan asli dalam suku terkecil (contohnya adalah \( \frac{16}{64} \to \frac{1 \cancel{6}}{\cancel{6} 4} \to \frac{1}{4} \). Temukan jumlah semua pecahan tersebut.
16. Berapa banyak bilangan bulat positif pertama yang berjumlah 2021 yang dapat dinyatakan dalam bentuk \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \), di mana \( a \), \( b \), \( c \) merupakan bilangan bulat non-negatif?
17. Pada \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 60^{\circ} \) dan \( M \) adalah titik pada \( BC \). \( \Gamma \) adalah lingkaran dalam \( \triangle ABC \) yang menyinggung sisi \( BC \), \( CA \), dan \( AB \) di \( D \), \( E \), dan \( F \) secara berurutan. \( AM \) bertemu \( \Gamma \) di \( P \) dan \( Q \) dengan \( AP \lt AQ \). Jika \( AE = 4 \), \( EC = 2 \), dan \( AP = QM \), carilah panjang \( AM \).
18. Ann dan Ben memainkan permainan sebagai berikut. Ann mulai dengan membuat \( \triangle A_0 B_0 C_0 \) bersudut lancip yang tidak sama sisi dan yang setiap sudut dalamnya (jika diukur dalam derajat) adalah bilangan bulat. Untuk setiap \( \triangle A_n B_n C_n \) yang dibuat oleh satu pemain, pemain lain selanjutnya membuat \( \triangle A_{n+1} B_{n+1} C_{n+1} \) sehingga \( A_{n+1} \) adalah kaki tegak lurus dari \( A_n \) ke \( B_n C_n \) , dan dengan \( B_{n+1} \) dan \( C_{n+1} \) didefinisikan secara analogi. Permainan berakhir ketika \( \triangle A_k B_k C_k \) yang dibuat tidak lancip, dan pemain yang membuat segitiga seperti itu bisa mendapatkan poin \( k \) sementara pemain lain mendapatkan −\( k \) poin. Asumsikan bahwa Ann pintar sehingga dia dapat membuat \( \triangle A_0 B_0 C_0 \) dengan cara yang memaksimalkan skornya dalam permainan. Temukan nilai \( \angle A_0 \) terbesar yang mungkin.
19. Untuk bilangan bulat positif \( n \), misalkan \( f(n) \) menyatakan banyaknya cara untuk menyatakan \( n \) sebagai jumlah kuadrat dua bilangan bulat non-negatif (tanpa mempertimbangkan urutan kedua bilangan tersebut). Misalnya, kita memiliki \( f(25) = 2 \) karena hanya ada dua cara untuk menuliskan 25 sebagai jumlah dua kuadrat, yaitu \( 0^2 + 5^2 \) dan \( 3^2 + 4^2 \) . Carilah nilai \( f(3) + f(6) + f(9) + ... + f(2022) \)
20. Pada \( \triangle ABC \),\( AB =15 \) dan \( AC =13 \). \( DEFG\) adalah persegi dengan \( D \) terletak pada \( AC \), \( F \) terletak pada \( AB \) dan \( G \) adalah titik tengah \( BC \). Jika \( AD =11 \) dan \( AF \gt FB \) , carilah luas \( DEFG \)
Olimpiade: IMO Preliminary Selection Contest – Hong Kong
Tahun: 29 May 2021 (Saturday)
Komentar
Posting Komentar