1. Misalkan \( n = (10^{2020} + 2020)^2 \) . Tentukan jumlah semua digit \( x \).
2. Misalkan \( x \), \( y \), \( z \) adalah bilangan bulat positif yang memenuhi \( x \lt y \lt z \) dan \( x + xy + xyz = 37 \) . Temukan nilai terbesar yang mungkin dari \( x + y + z \).
3. Seorang anak menyusun \( 2020^2 \) keping batu bata dalam satu baris, lalu menyingkirkan batu bata yang posisinya merupakan angka kuadrat (misalnya batu bata ke-1, ke-4, ke-9, ke-16, …). Kemudian ia menyusun kembali batu bata yang tersisa dan menyingkirkan batu bata yang berada dalam ‘posisi kuadrat’. Proses ini diulang hingga jumlah batu bata yang tersisa turun di bawah 250. Berapa banyak batu bata yang tersisa pada akhirnya?
4. Dalam sebuah permainan, seorang peserta memilih bilangan bulat positif sembilan digit \( \overline{ABCDEFGHI} \) dengan beberapa digit bukan nol. Skor peserta adalah \( A^{B^{C^{D^{E^{F^{G^{I}}}}}}} \). Angka sembilan digit manakah yang harus dipilih agar skornya maksimal?
5. 28 siswa di suatu kelas duduk melingkar. Mereka semua mengatakan bahwa 'dua siswa di sebelah saya berjenis kelamin berbeda'. Diketahui bahwa semua siswa laki-laki berbohong sementara tepat 3 siswa perempuan berbohong. Berapa banyak siswa perempuan di kelas tersebut?
6. Pada \( \triangle ABC \), \( AB = 6 \), \( BC = 7 \), dan \( CA = 8 \). Misalkan \( D \) adalah titik tengah busur minor \( AB \) pada lingkaran luar \( \triangle ABC \). Carilah \( AD^2 \).
7. Selesaikan persamaan \( \sqrt{7 - x} = 7 - x^2 \) , di mana \( x \gt 0 \) .
8. Temukan kelipatan positif terkecil dari 77 yang empat digit terakhirnya (dari kiri ke kanan) adalah 2020.
9. Pada \( \triangle ABC \), \( \angle B = 46.6^{\circ} \). \( D \) adalah titik pada \( BC \) sehingga \( \angle BAD = 20.1^{\circ} \). Jika \( AB = CD \) dan \( \angle CAD = x^{\circ} \), carilah x.
10. Misalkan \( k \) adalah bilangan bulat. Jika persamaan \( (x - 1) \mid x + 1 \mid = x + \frac{k}{2020} \) memiliki tiga akar real yang berbeda, berapa banyak kemungkinan nilai \( k \) yang berbeda?
11. Misalkan \( a \), \( b \), \( c \) adalah tiga akar persamaan \( x^3 - (k+1)x^2 + kx + 12 = 0 \), di mana \( k \)adalah bilangan riil. Jika \( (a-2)^3 + (b-2)^3 + (c-2)^3 = -18 \) , carilah nilai \( k \)
12. Ada beberapa bola, yang pada setiap bolanya tertulis bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 14 (dan tidak mesti berbeda), dan jumlah angka pada semua bola adalah \( S \). Carilah nilai \( S \) terbesar yang mungkin, sehingga, apa pun bilangan bulatnya, dapat dipastikan bahwa bola-bola tersebut dapat dibagi menjadi dua tumpukan sehingga jumlah angka pada bola-bola di setiap tumpukan tidak melebihi 129.
13. Ada n bilangan bulat berbeda di papan tulis. Setiap kali dua bilangan bulat ini dipilih, baik jumlah maupun selisihnya (mungkin keduanya) akan menjadi pangkat integral positif 2. Temukan nilai \( n \) terbesar yang mungkin.
14. Pada \( \triangle ABC \), \( \angle ABC =120^{\circ} \). Garis bagi internal \( \angle B \) bertemu \( AC \) di \( D \). Jika \(BD = 1 \), cari nilai terkecil yang mungkin dari \( 4BC + AB \) .
15. Berapa banyak bilangan bulat positif sepuluh digit yang terdiri dari sepuluh digit berbeda dan habis dibagi 99?
16. \( \triangle ABC \) siku-siku di \( B \), dengan \( AB = 1 \) dan \( BC = 3 \). \( E \) adalah kaki garis tegak lurus dari \( B \) ke \( AC \). \( BA \) dan \( BE \) masing-masing dibuat ke \( D \) dan \( F \) sehingga \( D \), \( F \), \( C \) kolinear dan\( \triangle DAF \) = \( \angle BAC \). Carilah panjang \( AD \).
17. Berapa banyak solusi bilangan bulat positif yang dimiliki sistem persamaan berikut?
18. Dua poligon bersisi n dikatakan bertipe sama jika kita dapat memberi label titik sudutnya searah jarum jam sebagai A1 , A2 , …, An dan B1 , B2 , …, Bn, sehingga setiap pasangan sudut dalam Ai dan Bi keduanya merupakan sudut refleks atau keduanya merupakan sudut non-refleks. Ada berapa jenis poligon bersisi 11?
19. Empat pasangan akan duduk berjajar. Jika setiap wanita hanya boleh duduk di samping suaminya atau wanita lain, berapa banyak kemungkinan susunan tempat duduk yang ada?
20. Perhatikan deret Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Berapakah tiga digit terakhir (dari kiri ke kanan) dari suku ke-2020?
Olimpiade: IMO Preliminary Selection Contest – Hong Kong
Tahun: 13 Jun 2020 (Saturday)
Komentar
Posting Komentar