Olimpiade Fisika Internasional IPHO 1996

Lima Masalah

1. Lima resistansi 1Ω dihubungkan seperti yang ditunjukkan pada gambar. Resistansi pada kabel penghantar (garis yang digambar penuh) dapat diabaikan.
   
   Tentukan resistansi yang dihasilkan R antara A dan B. (1 poin)
2. Seorang pemain ski mulai dari keadaan diam di titik A dan meluncur menuruni bukit, tanpa berbelok atau mengerem. Koefisien gesekannya adalah μ. Ketika ia berhenti di titik B, perpindahan horizontalnya adalah s. Berapakah perbedaan ketinggian h antara titik A dan B? (Kecepatan pemain ski kecil sehingga tekanan tambahan pada salju karena kelengkungan dapat diabaikan. Abaikan juga gesekan udara dan ketergantungan μ pada kecepatan pemain ski.) (1,5 poin)
   
3. Sepotong logam yang diisolasi secara termal dipanaskan di bawah tekanan atmosfer oleh arus listrik sehingga menerima energi listrik pada daya konstan \( P \). Hal ini menyebabkan peningkatan suhu absolut \( T \) logam terhadap waktu \( t \) sebagai berikut:
   \[ T(t)=T_0[1+a(t-t_0)]^{1/4} \]
   Di sini \( a \), \( t_0 \) dan \( T_0 \) adalah konstanta. Tentukan kapasitas kalor \( C_p(T) \) logam (tergantung suhu dalam kisaran suhu percobaan). (2 poin)
4. Permukaan bidang hitam pada suhu tinggi konstan \( T_h \) sejajar dengan permukaan bidang hitam lain pada suhu rendah konstan \( T_l \). Di antara pelat terdapat ruang hampa.
   
   Untuk mengurangi aliran panas akibat radiasi, pelindung panas yang terdiri dari dua pelat hitam tipis, yang diisolasi secara termal satu sama lain, ditempatkan di antara permukaan hangat dan dingin dan sejajar dengan keduanya. Setelah beberapa saat, kondisi stasioner tercapai.
   
   Dengan faktor ξ berapakah aliran panas stasioner berkurang karena adanya pelindung panas? Abaikan efek akhir karena ukuran permukaan yang terbatas. (1,5 poin)
5. Dua konduktor nonmagnetik lurus dan sangat panjang \( C_+ \) dan \( C_- \) , yang diisolasi satu sama lain, membawa arus \( I \) dalam arah z positif dan negatif, masing-masing. Penampang melintang konduktor (diberi garis arsir pada gambar) dibatasi oleh lingkaran berdiameter D pada bidang x-y, dengan jarak D/2 antara pusat-pusatnya. Dengan demikian, penampang melintang yang dihasilkan masing-masing memiliki luas \( \left(\frac{1} {12}\pi + \frac{1} {8} \sqrt{3} \right)D^2 \). Arus pada setiap konduktor terdistribusi secara merata pada penampang melintang.
   
   Tentukan medan magnet B(x,y) di ruang antara konduktor. (4 poin)

Dinamika Elektron dan Silinder
Ruang antara sepasang konduktor silinder koaksial dikosongkan. Jari-jari silinder bagian dalam adalah \( a \), dan jari-jari bagian dalam silinder bagian luar adalah \( b \), seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Silinder bagian luar, yang disebut anoda, dapat diberi potensial positif \( V \) relatif terhadap silinder bagian dalam. Medan magnet homogen statis \( \vec{ B } \)yang sejajar dengan sumbu silinder, diarahkan keluar dari bidang gambar, juga ada. Muatan induksi dalam konduktor diabaikan.

Kami mempelajari dinamika elektron dengan massa diam \( m \) dan muatan \( e^- \). Elektron dilepaskan di permukaan silinder bagian dalam.

1. Pertama, potensial \( V \) dihidupkan, tetapi \( \vec{ B } = 0 \). Sebuah elektron dilepaskan dengan kecepatan yang dapat diabaikan di permukaan silinder bagian dalam. Tentukan kecepatannya \( v \) saat mengenai anoda. Berikan jawaban kapan perlakuan non-relativistik cukup, dan kapan tidak. (1 poin)
   Untuk bagian yang tersisa dari masalah ini, penanganan non-relativistik sudah cukup.
2. Sekarang \( V = 0 \), tetapi medan magnet homogen \( \vec{ B } \) hadir. Sebuah elektron mulai bergerak dengan kecepatan awal \( \vec{ v }_0 \) dalam arah radial. Untuk medan magnet yang lebih besar dari nilai kritis \( B_c \) , elektron tidak akan mencapai anoda. Buat sketsa lintasan elektron saat \( B \) sedikit lebih besar dari \( B_c \) . Tentukan \( B_c \) . (2 poin)
   
   Mulai sekarang, potensial \( V \) dan medan magnet homogen \( \vec{ B } \) hadir.
3. Medan magnet akan memberikan elektron momentum sudut bukan nol \( L \) terhadap sumbu silinder. Tuliskan persamaan untuk laju perubahan dL/dt dari momentum sudut. Tunjukkan bahwa persamaan ini menyiratkan bahwa
   \[ L=keBr^2 \]
   konstan selama gerakan, di mana \( k \) adalah bilangan murni tertentu. Di sini \( r \) adalah jarak dari sumbu silinder. Tentukan nilai \( k \). (3 poin)
4. Perhatikan sebuah elektron, yang dilepaskan dari silinder bagian dalam dengan kecepatan yang dapat diabaikan, yang tidak mencapai anoda, tetapi memiliki jarak maksimum dari sumbu silinder yang sama dengan \( r_m \) . Tentukan kecepatan \( v \) pada titik di mana jarak radial maksimum, dalam hal \( r_m \) . (1 poin)
5. Kami tertarik menggunakan medan magnet untuk mengatur arus elektron ke anoda. Untuk \( B \) yang lebih besar dari medan magnet kritis \( B_c \), elektron yang dilepaskan dengan kecepatan yang dapat diabaikan tidak akan mencapai anoda. Tentukan \( B_c \). (1 poin)
6. Jika elektron dibebaskan dengan memanaskan silinder bagian dalam, elektron pada umumnya akan memiliki kecepatan awal bukan nol di permukaan silinder bagian dalam. Komponen kecepatan awal yang sejajar dengan \( \vec{ B } \) adalah \( v_B \) , komponen ortogonal terhadap \( \vec{ B } \) adalah \( v_r \) (dalam arah radial) dan \( v_\varphi \) (dalam arah azimut, yaitu ortogonal terhadap arah radial)
   
   Tentukan medan magnet kritis Bc untuk mencapai anoda dalam situasi ini. (2 poin)

Bulan dan Pasang Surut
Dalam soal ini, kami mempertimbangkan beberapa fitur kasar dari besarnya pasang surut di tengah laut di bumi. Kami menyederhanakan soal dengan membuat asumsi berikut:

1. Bumi dan bulan dianggap sebagai sistem yang terisolasi
2. Jarak antara bulan dan bumi diasumsikan konstan
3. Bumi diasumsikan seluruhnya tertutup oleh lautan
4. Efek dinamis rotasi Bumi pada porosnya diabaikan, dan
5. Gaya tarik gravitasi Bumi dapat ditentukan seolah-olah semua massa terpusat di pusat Bumi.

Diketahui data sebagai berikut:
Massa bumi: M = 5,98 x 10²⁴ kg
Massa bulan: M_m = 7,3 x 10²² kg
Jari-jari bumi: R = 6,37 x 10⁶ m
Jarak antara pusat bumi dan pusat bulan: L = 3,84 x 10⁸ m
Konstanta gravitasi: G = 6,67 x 10 ^-11 m³/kg.s² .

1. Bulan dan bumi berotasi dengan kecepatan sudut ω terhadap pusat massanya, \( C \). Seberapa jauh jarak \( C \) dari pusat bumi? (Jarak ini dinyatakan dengan \( l \).)
   Tentukan nilai numerik ω. (2 poin)
   
   
   
   Sekarang kita menggunakan kerangka acuan yang berotasi bersama dengan bulan dan pusat bumi di sekitar \( C \). Dalam kerangka acuan ini bentuk permukaan cair bumi bersifat statis. Pada bidang \( P \) hingga \( C \) dan tegak lurus terhadap sumbu rotasi, posisi massa titik pada permukaan bumi yang cair dapat digambarkan dengan koordinat kutub \( r \), \( \varphi \) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Di sini \( r \) adalah jarak dari pusat bumi.
   
   Kita akan mempelajari bentuknya:
   \[ r( \varphi) = R + h( \varphi) \]
   permukaan cairan bumi pada bidang \( P \).
2. Perhatikan sebuah titik massa (massa \( m \)) pada permukaan cairan bumi (pada bidang \( P \)). Dalam kerangka acuan kita, titik tersebut dipengaruhi oleh gaya sentrifugal dan gaya gravitasi dari bulan dan bumi. Tuliskan ekspresi untuk energi potensial yang sesuai dengan ketiga gaya ini
   
   Catatan: Gaya apa pun \( F(r) \), yang diarahkan secara radial terhadap suatu titik asal, adalah turunan negatif dari energi potensial simetris bola \( V(r) \):
   \[ F(r) = -V(r)' \] (3 poin)
3. Temukan, dalam bentuk kuantitas yang diberikan \( M \), \( M_m \), dll, bentuk perkiraan \( h(\varphi) \) dari tonjolan pasang surut. Berapa perbedaan dalam meter antara pasang naik dan pasang surut dalam model ini?
   
   Anda dapat menggunakan ekspresi perkiraan
   
   \[ \frac{1} {\sqrt{1+a^2-2acos \theta} } \approx 1+acos\theta+\frac{1} {2}a^2(3cos^2 \theta -1)\]
   berlaku untuk yang jauh lebih kecil dari kesatuan.
   
   Dalam analisis ini buatlah perkiraan yang disederhanakan bila perkiraan tersebut masuk akal. (5 poin)

---

Olimpiade: IPHO
Tahun: Norwegia, 1996
Tipe Soal: Theory problems

---