Olimpiade Astronomi Internasional 2009 Iran

Soal-soal Singkat: (10 poin setiap soal)

1. Hitung kerapatan massa rata-rata untuk lubang hitam supermasif dengan massa total 1×10⁸ M_ʘ di dalam radius Schwarzschild.
2. Perkirakan jumlah foton per detik yang tiba di mata kita pada λ = 550 nm (pita V) dari bintang deret utama G2 dengan magnitudo tampak m = 6 (ambang batas visibilitas mata telanjang). Asumsikan diameter pupil mata adalah 6 mm dan semua radiasi dari bintang ini berada pada λ = 550 nm.
3. Perkirakan jari-jari sebuah planet yang dapat dicapai seseorang tanpa terpengaruh gravitasi planet tersebut dengan melompat secara vertikal. Asumsikan kepadatan planet tersebut dan Bumi sama.
4. Dalam arsitektur Persia yang khas, di atas jendela sisi selatan terdapat struktur yang disebut "Tabeshband" (peneduh), yang mengontrol sinar matahari di musim panas dan musim dingin. Di musim panas ketika Matahari berada di posisi tinggi, Tabeshband mencegah sinar matahari masuk ke dalam ruangan dan menjaga agar bagian dalam tetap lebih sejuk. Dalam arsitektur modern, telah diverifikasi bahwa Tabeshband menghemat sekitar 20% biaya energi. Gambar (1) menunjukkan penampang vertikal dari desain ini pada garis lintang 36°.0 N dengan jendela dan Tabeshband.
   
   
   Dengan menggunakan parameter yang diberikan pada gambar, hitung lebar maksimum Tabeshband, "x", dan tinggi maksimum jendela, "h" sedemikian rupa sehingga:
   1. Tidak ada sinar matahari langsung yang dapat masuk ke ruangan pada titik balik matahari musim panas di siang hari.
   2. Sinar matahari langsung mencapai ujung ruangan (ditunjukkan oleh titik A pada gambar) pada titik balik matahari musim dingin di siang hari.
5. Gunung Damavand terletak di bagian utara Iran, di pantai selatan Laut Kaspia. Bayangkan seorang pengamat berdiri di puncak Gunung Damavand (lintang = 35° 57′ N; bujur = 52° 6' E; ketinggian 5,6 × 10³ m dari permukaan laut rata-rata) dan melihat ke langit di atas Laut Kaspia. Berapakah deklinasi minimum agar sebuah bintang terlihat sedikit melingkari kutub bagi pengamat ini? Jari-jari geodetik Bumi pada lintang ini adalah 6370,8 km. Permukaan Laut Kaspia kira-kira sama dengan permukaan laut rata-rata.
6. Turunkan suatu hubungan untuk kecepatan lepas suatu objek yang diluncurkan dari pusat awan proto-bintang. Awan tersebut memiliki kerapatan seragam dengan massa M dan jari-jari R. Abaikan tumbukan antara partikel awan dan objek yang diluncurkan. Jika objek tersebut dibiarkan jatuh bebas dari permukaan, ia akan mencapai pusat dengan kecepatan yang sama dengan \( \sqrt[]{\frac{GM}{R}} \)
7. Seorang siswa mencoba mengukur bidang pandang (FOV) lensa okuler teleskopnya, menggunakan rotasi Bumi. Untuk melakukan pekerjaan ini, pengamat mengarahkan teleskop ke arah Vega (alpha Lyr., RA: 18,5^h, Dec: +39°), mematikan "penggerak jam" dan mengukur waktu tempuh, t=5,3 menit, yang dibutuhkan Vega untuk melintasi diameter penuh FOV. Berapakah FOV teleskop ini dalam menit busur?
8. Perkirakan massa gugus bola dengan jari-jari r = 20 parsek dan kecepatan rata-rata kuadrat bintang sama dengan v_RMS = 3 Km/s
9. Bujur galaksi suatu bintang adalah l = 15°. Kecepatan radialnya terhadap Matahari adalah v_r = 100 Km/s. Asumsikan bintang-bintang di cakram Galaksi mengorbit pusat dengan kecepatan konstan v₀ = 250 Km/s dalam orbit melingkar dengan arah yang sama di bidang galaksi. Hitung jarak bintang tersebut dari pusat Galaksi.
10. Sebuah bintang deret utama dengan jari-jari dan massa R = 4 R_ʘ, M = 6 M_ʘ memiliki medan magnet rata-rata sebesar 1 × 10^-4 T. Hitunglah kekuatan medan magnet bintang tersebut ketika berevolusi menjadi bintang neutron dengan jari-jari 20 Km.
11. Asumsikan massa neutrino adalah m_ν = 10^-5 m_e. Hitung jumlah kepadatan neutrino (n_ν) yang diperlukan untuk mengkompensasi materi gelap alam semesta. Asumsikan alam semesta datar dan 25% massanya merupakan materi gelap.
    Petunjuk: Ambil energi total klasik sama dengan nol
12. Hitung berapa bertambahnya jari-jari orbit bumi akibat hilangnya massa Matahari akibat reaksi termonuklir di pusatnya dalam 100 tahun. Asumsikan orbit bumi tetap berbentuk lingkaran selama periode ini.
13. Bayangkan Anda hidup di zaman Copernicus dan tidak mengetahui apa pun tentang hukum Kepler. Anda mungkin menghitung jarak Mars-Matahari dengan cara yang sama seperti yang dilakukannya. Setelah menerima keyakinan revolusioner bahwa semua planet mengorbit Matahari, bukan Bumi, Anda mengukur bahwa periode orbit Mars adalah 687 hari, kemudian Anda mengamati bahwa 106 hari setelah oposisi Mars, planet tersebut tampak berada dalam kuadratur. Hitung jarak Mars-Matahari dalam satuan astronomi (AU).
14. Sebuah satelit mengorbit Bumi dalam orbit melingkar di bidang khatulistiwa. Seorang pengamat di Teheran pada garis lintang \( \varphi \) = 35,6° mengamati bahwa satelit tersebut memiliki sudut zenit \( z \) = 46,0° ketika melintasi meridian lokal. Hitung jarak satelit dari pusat Bumi (dalam satuan jari-jari Bumi).
15. Sistem biner dekat gerhana terdiri dari dua bintang raksasa dengan ukuran yang sama. Akibat gaya gravitasi timbal balik, bintang-bintang tersebut mengalami deformasi dari bola sempurna menjadi spheroid prolat dengan a = 2b, di mana a dan b adalah sumbu semi-mayor dan semi-minor (sumbu mayor selalu segaris). Kemiringan bidang orbit terhadap bidang langit adalah 90°. Hitung amplitudo variasi cahaya dalam magnitudo (Δm) sebagai akibat dari gerakan orbit kedua bintang tersebut. Abaikan variasi suhu akibat deformasi pasang surut dan penggelapan tepi pada permukaan bintang.

1. Proyektil Ketinggian Tinggi (45 poin)
   Sebuah proyektil yang dimulai dari permukaan Bumi di permukaan laut diluncurkan dengan kecepatan awal \( v_0 = \sqrt{GM/R} \) dan dengan sudut proyeksi (terhadap cakrawala lokal) \( \theta = \frac{\pi}{6} \). M dan R masing-masing adalah massa dan jari-jari Bumi. Abaikan hambatan udara dan rotasi Bumi.
   1. Tunjukkan bahwa orbit proyektil adalah elips dengan sumbu semi-mayor \( a = R \).
   2. Hitung ketinggian tertinggi proyektil terhadap permukaan Bumi (dalam satuan jari-jari Bumi).
   3. Berapa jangkauan proyektil (jarak antara titik peluncuran dan titik jatuh) dalam satuan jari-jari Bumi?
   4. Berapa eksentrisitas (e) dari orbit elips ini?
   5. Temukan waktu terbang proyektil.
2. Kepadatan jumlah bintang yang tampak di Galaksi (45 poin)
   Mari kita modelkan kerapatan jumlah bintang di cakram Galaksi Bima Sakti dengan fungsi eksponensial sederhana \( n = n_0 \) exp \( \left(-\frac{r-R_0}{R_d}\right) \), di mana \( r \) mewakili jarak dari pusat Galaksi, \( R_0 \) adalah jarak Matahari dari pusat Galaksi, \( R_d \) adalah ukuran tipikal cakram dan \( n_0 \) adalah kerapatan bintang cakram pada posisi Matahari. Seorang astronom mengamati pusat Galaksi dalam bidang pandang yang kecil. Kita mengambil jenis bintang raksasa merah tertentu (red clump) sebagai lilin standar untuk pengamatan dengan magnitudo absolut yang kira-kira konstan sebesar M = −0,2,
   1. Dengan mempertimbangkan magnitudo pembatas \( m \) = 18 untuk teleskop, hitung jarak maksimum teleskop tersebut dapat mendeteksi bintang-bintang gumpalan merah. Untuk menyederhanakan, kita mengabaikan keberadaan medium antarbintang sehingga tidak ada kepunahan.
   2. Asumsikan kepunahan sebesar 0,7 mag/kpc untuk medium antarbintang. Ulangi perhitungan seperti yang dilakukan pada bagian (a) dan dapatkan angka kasar untuk jarak maksimum bintang-bintang raksasa merah ini dapat diamati.
   3. Berikan ekspresi untuk jumlah bintang raksasa merah ini per magnitudo dalam sudut ruang Ω yang dapat kita amati dengan magnitudo tampak dalam rentang m dan 𝑚 + ∆m𝑚, (yaitu ∆N/∆m). Bintang raksasa merah menyumbang fraksi f dari keseluruhan bintang. Pada bagian ini, asumsikan tidak ada kepunahan di medium antarbintang seperti pada bagian (a). Asumsikan ukuran cakram lebih besar daripada jarak maksimum yang dapat diamati.

Jawaban:

BAGIAN TEORI A.

1. 1.85 x 10³ Kg.m^-3
2. 8 x 10³ s^-1
3. 2 x 10³ m
4. 2.73 m
5. 51.5^o
6. \( v_e =\sqrt[]{\frac{3GM}{R}} \)
7. 4.2 x 10⁴ M_ʘ
8. 3 x 10³ parsek
9. 1.93 x 10⁶ Tesla
10. 3 x 10⁸ m^-1
11. 1.01m (untuk 100 tahun)
12. 1.52 AU
13. 3.98
14. -1.5

BAGIAN TEORI B.

1. a. terbukti a = R
   b. R/2
   c. \( \frac{2\pi}{3}R \)
   d. 1/2
   e. 55,7 menit
2. a. 4.37 x 10⁴ parsek
   b. 6.1 kpc
   c. terlalu rumit untuk ditulis

---

Olimpiade: IOAA (International Olympiad on Astronomy and Astrophysics)
Tahun: 2009
Negara: Iran (3^rd IOAA)

---