Junior. Hari 1
1. Misalkan \( a \), \( b \), \( c \) adalah bilangan riil sehingga \( a^2+b = c^2 \), \( b^2+c = a^2 \), \( c^2+a = b^2 \). Temukan semua nilai \( abc \) yang mungkin.
2. Dalam segitiga \( ABC \), misalkan \( K \) adalah titik pada median \( BM \) sehingga \( CK = CM \). Tampak bahwa \( \angle CBM = 2 \angle ABM \). Buktikan bahwa \( BC = MK \).
3. Kita memiliki \( n \gt 2 \) bilangan bulat bukan nol sehingga masing-masing bilangan tersebut habis dibagi dengan jumlah \( n − 1 \) bilangan lainnya. Buktikan bahwa jumlah semua bilangan yang diberikan adalah nol.
4. Kotak persegi 2\( n \)×2\( n \) dibuat dari korek api (setiap korek api adalah segmen dengan panjang 1). Dengan satu langkah, Peter dapat memilih titik sudut yang (pada saat ini) merupakan titik akhir dari 3 atau 4 korek api dan menghapus dua korek api yang gabungannya adalah segmen dengan panjang 2. Temukan jumlah korek api paling sedikit yang dapat tersisa setelah sejumlah langkah Peter.
Senior. Hari 1
1. Bilangan bulat dari 1 hingga 100 ditempatkan dalam satu baris dengan urutan tertentu. Mari kita sebut suatu bilangan besar-kanan, jika bilangan tersebut lebih besar dari setiap bilangan di sebelah kanannya; mari kita sebut suatu bilangan besar-kiri, jika bilangan tersebut lebih besar dari setiap bilangan di sebelah kirinya. Tampaknya dalam baris tersebut terdapat tepat \( k \) bilangan besar-kanan dan tepat k bilangan besar-kiri. Temukan nilai maksimum \( k \) yang mungkin.
2. Kita memiliki \( n \gt 2 \) bilangan bulat bukan nol sehingga setiap bilangan tersebut habis dibagi dengan jumlah \( n − 1 \) bilangan lainnya. Buktikan bahwa jumlah semua bilangan yang diberikan adalah nol
3. Misalkan \( n \ge 3 \) adalah bilangan bulat positif. Pada bidang tersebut, n titik yang tidak semuanya kolinear ditandai. Temukan jumlah segitiga paling sedikit yang semua titik sudutnya ditandai.
(Ingat bahwa titik sudut suatu segitiga tidak kolinear.)
4. Pada segitiga lancip \( ABC \), misalkan \( AH_a \) dan \( BH_b \) adalah garis tinggi. Misalkan \( H_a H_b \) memotong lingkaran luar \( ABC \) di \( P \) dan \( Q \). Misalkan \( A' \) adalah refleksi \( A \) di \( BC \), dan misalkan \( B' \) adalah refleksi \( B \) di \( CA \). Buktikan bahwa \( A' \); \( B' \), \( P \), \( Q \) adalah konsiklik.
Junior. Hari 2
5. Misalkan a; b; c adalah bilangan bulat positif sehingga hasil produk
\[ gcd(a , b) · gcd(b , c) · gcd(c , a) \]
merupakan kuadrat sempurna. Buktikan bahwa hasil produk
\[ lcm(a ,b) · lcm(b , c) · lcm(c , a) \]
juga merupakan kuadrat sempurna
6. Sederet bola berisi 2021 diberikan. Pasha dan Vova memainkan permainan, bergantian melakukan gerakan; Pasha memulai. Pada setiap giliran, seorang anak laki-laki harus mengecat bola yang belum dicat dengan salah satu dari tiga warna yang tersedia: merah, kuning, atau hijau (awalnya semua bola belum dicat). Ketika semua bola diwarnai, Pasha menang, jika ada tiga bola berurutan dengan warna berbeda; jika tidak, Vova menang. Siapa yang punya strategi menang?
7. Diketahui sebuah segitiga lancip \( ABC \). Misalkan \( AD \) adalah tingginya, misalkan \( H \) dan \( O \) adalah orthocenter dan circumcenter-nya, berturut-turut. Misalkan \( K \) adalah titik pada ruas garis \( AH \) dengan \( AK = HD \); misalkan \( L \) adalah titik pada ruas garis \( CD \) dengan \( CL = DB \). Buktikan bahwa garis \( KL \) melalui \( O \) .
8. Mari kita sebut sekumpulan bilangan bulat positif nice, jika jumlah elemennya sama dengan rata-rata semua elemennya. Sebut bilangan \( n \) amazing, jika kita dapat membagi himpunan {1, 2, ... , \(n \)} menjadi subset nice.
- Buktikan bahwa sembarang kuadrat sempurna adalah amazing.
- Buktikan bahwa ada bilangan bulat positif tak terhingga yang tidak amazing.
Senior. Hari 2
5. Diketahui sebuah segitiga \( \triangle \) dengan panjang sisi \( a \le b \le c \). Tampaknya tidak mungkin untuk membuat segitiga dari tiga ruas garis yang panjangnya sama dengan tinggi \( \triangle \). Buktikan bahwa \( b^2 \le ac \).
6. Sederet bola berisi 2021 diberikan. Pasha dan Vova memainkan permainan, bergantian melakukan gerakan; Pasha memulai. Pada setiap giliran, seorang anak laki-laki harus mengecat bola yang belum dicat dengan salah satu dari tiga warna yang tersedia: merah, kuning, atau hijau (awalnya semua bola belum dicat). Ketika semua bola diwarnai, Pasha menang, jika ada tiga bola berurutan dengan warna berbeda; jika tidak, Vova menang. Siapa yang punya strategi menang?
7. 4 token ditempatkan pada bidang datar. Jika token-token tersebut sekarang berada di titik sudut segi empat cembung \( P \), maka langkah berikut dapat dilakukan: pilih salah satu token dan geser ke arah tegak lurus terhadap diagonal \( P \) yang tidak memuat token ini; saat menggeser token, dilarang memperoleh tiga token yang kolinear.
Misalkan awalnya token berada di titik sudut persegi panjang \( \Pi \), dan setelah beberapa gerakan token berada di titik sudut persegi panjang \( \Pi' \) sehingga \( \Pi' \) mirip dengan \( \Pi \) tetapi tidak sama dengan \( \Pi \). Buktikan bahwa \( \Pi \) adalah persegi.
8. Tabel tak terhingga yang baris dan kolomnya diberi nomor dengan bilangan bulat positif, diberikan. Untuk deret fungsi \( f_1 (x) \), \( f_2 (x) \), ... . mari kita tempatkan bilangan \( f_i (j) \) ke dalam sel (\( i , j \)) tabel (untuk semua \( i, j \in \mathbb{N} \)). Deret \( f_1 (x) \), \( f_2 (x) \), ... dikatakan nice, jika semua bilangan dalam tabel adalah bilangan bulat positif, dan setiap bilangan bulat positif muncul tepat satu kali. Tentukan apakah ada deret nice dari fungsi \( f_1 (x) \), \( f_2 (x) \), ... , sehingga setiap \( f_i (x) \) adalah polinomial berderajat 101 dengan koefisien bilangan bulat dan koefisien utamanya sama dengan 1
Olimpiade: VI Caucasus Mathematic Olympiad
Tahun: Maykop, March 12–17, 2021
Komentar
Posting Komentar