Tingkat dasar
1. Pantulkan masing-masing bangun \( A \), \( B \) di atas beberapa garis \( l_A \), \( l_B \) dan putar bangun \( C \)sehingga diperoleh persegi 4 × 4. Identifikasi garis \( l_A \), \( l_B \) dan pusat rotasi, dan gambar juga versi transformasi \( A \), \( B \) dan \( C \) di bawah operasi ini.
2. ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 20. Seberkas cahaya dipancarkan dari \( A \) dan memotong sisi \( BC \), \( CD \), \( DA \) berturut-turut dan mencapai titik tengah sisi \( AB \). Berapa panjang lintasan yang ditempuh berkas cahaya tersebut?
3. Di dalam segi empat cembung \( ABCD \) dengan \( BC \gt AD \), dipilih titik \( T \). \( S \) terletak pada ruas garis \( AT \) sehingga \( DT = BC \), \( \angle TSD = 90^{\circ} \). Buktikan bahwa jika \( \angle DTA \) + \( \angle TAB \) + \( \angle ABC \) = \( 180^{\circ} \), maka \( AB + ST \ge CD + AS \).
4. Suatu n-gon bertulis (\( n \gt 3 \)), dibagi menjadi \( n - 2 \) segitiga oleh diagonal-diagonal yang hanya bertemu di titik sudut. Berapa jumlah maksimum segitiga kongruen yang mungkin diperoleh? (N-gon bertulis adalah n-gon yang semua titik sudutnya terletak pada lingkaran)
5. Titik \( Y \), \( Z \) terletak pada busur \( BC \) yang lebih kecil dari lingkaran luar segitiga lancip \( \triangle ABC \) (\( Y \) terletak pada busur \( BZ \) yang lebih kecil). Misalkan \( X \) adalah titik sehingga segitiga \( \triangle ABC \), \( \triangle XYZ \) sebangun (dalam urutan yang tepat ini) dengan \( A \), \( X \) terletak pada sisi yang sama dari \( YZ \). Garis \( XY \), \( XZ \) memotong sisi \( AB \), \( AC \) di titik \( E \), \( F \) berturut-turut. Misalkan \( K \) adalah perpotongan garis \( BY \), \( CZ \). Buktikan bahwa salah satu perpotongan lingkaran luar segitiga \( \triangle AEF \), \( \triangle KBC \) terletak pada garis \( KX \)
Tingkat menengah
1. Pada gambar di bawah ini titik \( A \), \( B \) merupakan pusat lingkaran \( \omega_1 \), \( \omega_2 \). Dimulai dari garis \( BC \) diperoleh titik \( E \), \( F \), \( G \), \( H \), \( I \) secara berurutan. Tentukan sudut \( \angle IBE \)
2. Titik \( X \), \( Y \) terletak pada sisi \( CD \) dari segi lima cembung \( ABCDE \) dengan \( X \) di antara \( Y \) dan \( C \). Misalkan segitiga \( \triangle XCB \), \( \triangle ABX \), \( \triangle AXY \), \( \triangle AYE \), \( \triangle YED \) semuanya sebangun (dalam urutan yang tepat ini). Buktikan bahwa lingkaran luar segitiga \( \triangle ACD \), \( \triangle AXY \) merupakan garis singgung.
3. Misalkan \( \triangle ABC \) adalah segitiga lancip dengan titik \( D \) pada sisi \( BC \). Misalkan \( J \) adalah titik pada sisi \( AC \) sehingga \( \angle BAD = 2\angle ADJ \), dan \( \omega \) adalah lingkaran luar segitiga \( \triangle CDJ \). Garis \( AD \) memotong \( \omega \) lagi di titik \( P \), dan \( Q \) adalah kaki garis tinggi dari \( J \) ke \( AB \). Buktikan bahwa jika \( JP = JQ \), maka garis yang tegak lurus terhadap \( DJ \) melalui \( A \) bersinggungan dengan \( \omega \).
4. Eric telah menyusun poligon cembung \( P \) dari banyak petak poligonal simetris pusat (tidak harus kongruen atau cembung). Buktikan bahwa \( P \) simetris pusat.
5. Titik \( P \) adalah potongan diagonal \( AC \), \( BD \) dari trapesium \( ABCD \) dengan \( AB \parallel CD \). Refleksi garis \( AD \) dan \( BC \) ke dalam garis bagi sudut internal \( \angle PDC \) dan \( \angle PCD \) memotong luar lingkaran \( \triangle APD \) dan \( \triangle BPC \) di \( D^′ \) dan \( C^′ \). Garis \( C^′A \) memotong lingkaran luar \( \triangle BPC \) lagi di \( Y \) dan \( D^′C \) memotong lingkaran luar \( \triangle APD \) lagi di \( X \). Buktikan bahwa \( P \), \( X \), \( Y \) kolinear.
Tingkat Lanjutan
1. Segitiga sama sisi dibagi menjadi 4 segitiga dengan luas yang sama; tiga segitiga kongruen \( \triangle ABX \), \( \triangle BCY \), \( \triangle CAZ \), dan segitiga sama sisi yang lebih kecil \( \triangle XYZ \), seperti yang ditunjukkan. Buktikan bahwa titik \( X \), \( Y \), \( Z \) terletak pada lingkaran dalam segitiga \( \triangle ABC \).
2. Titik P terletak pada sisi \( CD \) dari segi empat siklik \( ABCD \) sehingga \( \angle CBP = 90^{\circ} \). Misalkan \( K \) adalah perpotongan \( AC \), \( BP \) sehingga \( AK = AP = AD \). \( H \) adalah proyeksi \( B \) pada garis \( AC \). Buktikan bahwa \( \angle AP H = 90^{\circ} \).
3. Pada segitiga \( \triangle ABC \), misalkan \( D \) adalah kaki garis tinggi dari \( A \) ke sisi \( BC \) dan \( I \), \( I_A \), \( I_C \) adalah incenter, \( A \)-excenter, dan \( C \)-excenter, berturut-turut. Nyatakan dengan \( P \neq B \) dan \( Q \neq D \) titik-titik potong lainnya dari lingkaran \( \triangle BDI_C \) dengan garis \( BI \) dan \( DI_A \), berturut-turut. Buktikan bahwa \( AP = AQ \).
4. Titik P berada di dalam segitiga lancip \( \triangle ABC \) sehingga \( \angle BPC = 90^{\circ} \) dan \( \angle BAP = \angle PAC \). Misalkan \( D \) adalah proyeksi \( P \) ke sisi \( BC \). Misalkan \( M \) dan \( N \) adalah titik pusat segitiga \( \triangle ABD \) dan \( \triangle ADC \). Buktikan bahwa segi empat \( BMNC \) adalah siklik.
5. Segiempat siklik \( ABCD \) dengan lingkaran luar ω diberikan. Misalkan \( E \) adalah titik tetap pada ruas \( AC \). \( M \) adalah titik sembarang pada ω, garis \( AM \) dan \( BD \) bertemu di titik \( P \). \( EP \) bertemu \( AB \) dan \( AD \) di titik \( R \) dan \( Q \), masing-masing, \( S \) adalah perpotongan \( BQ \), \( DR \) dan garis \( MS \) dan \( AC \) bertemu di titik \( T \). Buktikan bahwa ketika \( M \) berubah, lingkaran luar segitiga \( \triangle CMT \) melewati titik tetap selain \( C \).
Olimpiade: 11th Iranian Geometry Olympiad – Iran
Tahun: October 18, 2024
Komentar
Posting Komentar