Olimpiade Astronomi Internasional 2014 Rumania

Ujian Teori - Pertanyaan Singkat

1. Titik Lagrange
   Titik Lagrange adalah lima posisi dalam konfigurasi orbit (asumsikan orbit melingkar), di mana sebuah objek kecil diam relatif terhadap dua benda besar, hanya berinteraksi secara gravitasi dengan mereka - misalnya, satelit buatan relatif terhadap Bumi dan Bulan, atau relatif terhadap Bumi dan Matahari. Pada Gambar 1 digambarkan dua kemungkinan lokasi titik Lagrange \( L_3 \) relatif terhadap sistem Bumi-Matahari. Temukan lokasi mana dari dua lokasi \( L_{3}^1 \) dan \( L_{3}^2 \) yang mungkin merupakan titik Lagrange sebenarnya relatif terhadap sistem Bumi-Matahari;
   
   
   
   tunjukkan alasan jawaban Anda dengan persamaan yang sesuai dan hitung perbedaan antara satu AU dan jarak Matahari - \( L_3 \). Anda mengetahui data berikut: jarak Bumi-Matahari d_ES = 14.96 x 10⁷ dan rasio massa Bumi-Matahari M_E/M_S = 1/332946
2. Bencana gravitasi Matahari
   Dalam bencana gravitasi, massa Matahari berkurang seketika menjadi setengah dari nilai sebenarnya. Jika Anda menganggap bahwa orbit Bumi sebenarnya berbentuk elips, periode orbitnya adalah T₀ = 1 tahun dan eksentrisitas orbit Bumi adalah e₀ = 0,167.
   
   Temukan periode gerak orbit Bumi, setelah bencana gravitasi, jika terjadi pada:
   1. 3 Juli (aphelion)
   2. 3 Januari.
3. Radiasi kosmik
   Selama studi mengenai radiasi kosmik, partikel netral tak stabil – meson \( \pi^0 \) – telah diidentifikasi. Massa diam meson \( \pi^0 \) jauh lebih besar daripada massa diam elektron. Studi menunjukkan bahwa selama perjalanannya, meson \( \pi^0 \) terurai menjadi 2 foton. Dalam kasus tertentu, salah satu foton yang dihasilkan memiliki energi maksimum E_max dan, akibatnya, foton lainnya memiliki energi minimum E_min.
   
   Temukan ekspresi untuk kecepatan awal meson \( \pi^0 \), sebagai fungsi dari E_max dan E_min. Anda dapat menggunakan c – kecepatan cahaya – dan hubungan antara energi dan momentum untuk apa pun partikel relativistik, \( E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4 \)
4. Sandra Bullock dan George Clooney
   Seorang astronot, dengan massa M = 100 Kg keluar dari pesawat ruang angkasa untuk misi perbaikan. Ia harus memperbaiki satelit yang diam relatif terhadap pesawat ruang angkasa, sekitar d = 90 neter darinya. Setelah menyelesaikan pekerjaannya, ia menyadari bahwa sistem yang dirancang untuk memastikan ia kembali ke pesawat ulang-alik rusak. Ia juga mengamati bahwa ia hanya memiliki udara untuk 3 menit. Ia juga memperhatikan bahwa ia memiliki kaleng silinder tertutup (luas alas S = 30 cm²) yang terpasang erat pada sarung tangannya, dengan es di dalamnya sebanyak m = 200 gram. Kaleng tersebut tidak terisi penuh dengan es.
   
   Tentukan apakah astronot tersebut dapat kembali dengan selamat ke pesawat ulang-alik sebelum cadangan udaranya habis, jika ia berhasil membuka kaleng tersebut ke arah yang benar. Jelaskan secara singkat perhitungan Anda. Perhatikan bahwa ia tidak boleh membuang peralatan apa pun, atau menyentuh satelit.
   
   Anda dapat menggunakan data berikut: T = 272 K - suhu es dalam kaleng; P_s = 550 Pa - tekanan uap air jenuh pada suhu T = 272 K; R = 8300 J/(kmol.K) - konstanta gas universal; μ = 18 Kg/kmol - massa molar air.
5. Masa hidup bintang deret utama
   Grafik fungsi log (L/L_s) = f(log (M/M_s)) untuk data yang dikumpulkan dari sejumlah bintang diwakili pada gambar 2. L dan M masing-masing adalah luminositas dan massa bintang, dan L_s dan M_s masing-masing adalah luminositas dan massa Matahari.
   
   
   
   Temukan ekspresi untuk masa hidup deret utama untuk bintang deret utama dari diagram Hertzsprung-Russell, sebagai fungsi dari fraksi massa yang diubah menjadi energi η dan rasio massa terhadap massa Matahari n. Gunakan asumsi berikut: waktu yang dihabiskan Matahari dalam Deret Utama yang sama adalah τ_s, untuk setiap bintang fraksi massa yang diubah menjadi energi adalah η, persentase massa Matahari yang diubah menjadi energi adalah η_s, massa setiap bintang dinyatakan sebagai n = M/M_s, dan asumsikan bahwa luminositas bintang tetap konstan selama masa hidupnya di deret utama.
6. Suhu efektif suatu bintang
   Dari radiasi yang dipancarkan oleh sebuah bintang, dua radiasi dengan nilai panjang gelombang dalam rentang sempit \( \Delta \lambda \ll \lambda \) dipelajari, yaitu panjang gelombang memiliki nilai antara \( \lambda \) dan \( \Delta \lambda + \lambda \). Menurut hubungan Planck (untuk benda hitam absolut), hubungan berikut mendefinisikan energi yang dipancarkan oleh bintang per unit waktu, melalui satuan luas permukaannya, per interval panjang gelombang: \[ r = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5\left(e^{\frac{hc}{k \lambda T}}-1\right)} \] Intensitas spektral dari radiasi dengan panjang gelombang \( \lambda_1 \) dan \( \lambda_2 \), keduanya dalam rentang \( \Delta \lambda \) yang diukur di Bumi adalah \( I_1(\lambda_1) \) dan \( I_2(\lambda_2) \) masing-masing.
   
   Cari tahu hubungan antara panjang gelombang \( \lambda_1 \) dan \( \lambda_2 \), jika \( I_1(\lambda_1) = 2I_2(\lambda_2) \) ketika \( hc \ll \lambda k T \).
   
   Di sini: \( h \) = konstanta Planck; \( k \) = konstanta Boltzmann; \( c \) = kecepatan cahaya di vakum.
   \( e \approx 1 + x \) jika \( x \ll 1 \)
7. Tekanan cahaya
   Bagi seorang pengamat di Bumi, tekanan radiasi yang dipancarkan oleh Matahari adalah \( P_{rad,S} \) dan tekanan radiasi yang dipancarkan oleh bintang \( \Sigma \) adalah \( P_{rad,\Sigma} \). Hitung magnitudo visual tampak dari bintang \( \Sigma \) jika magnitudo visual tampak Matahari adalah \( m_S \).
   
   Asumsi berikut mungkin berguna untuk menyelesaikan masalah:
   Umumnya, tekanan radiasi elektromagnetik di dalam vakum sama dengan kerapatan energi volume radiasi elektromagnetik \( \left(P_{rad} = \frac{\Delta E}{\Delta V}\right) \)
   
   Data berikut diketahui: \( M_s \) - massa Matahari, \( R_s \) - jari-jari Matahari, \( G \) - konstanta gravitasi universal; \( \sigma \) Stefan - konstanta Boltzmann; \( c \) - kecepatan cahaya di vakum
8. Pesawat ruang angkasa mengorbit Matahari
   Sebuah kapal luar angkasa berbentuk bola mengorbit Matahari pada lintasan melingkar, dan berputar di sekitar sumbu rotasi yang tegak lurus terhadap bidang orbit kapal luar angkasa. Suhu di permukaan luar kapal adalah \( T_N \). Asumsikan kapal luar angkasa adalah benda hitam sempurna dan tidak ada kegiatan di dalamnya.
   
   Cari besar magnitudo semu Matahari dan diameter sudut Matahari seperti yang terlihat oleh astronot di kapal luar angkasa. Nilai-nilai berikut diketahui: \( T_S \) - suhu efektif Matahari; \( R_S \) - jari-jari Matahari; \( d_0 \) - jarak Bumi-Matahari; \( m_0 \) - magnitudo semu Matahari yang diukur dari Bumi; \( R_N \) - jari-jari kapal luar angkasa.
9. Bintang Vega di cermin
   Di dalam kamera, sebuah cermin datar ditempatkan sepanjang sumbu optik dari lensa objektif (seperti yang ditunjukkan pada gambar). Panjang cermin setengah dari panjang fokus lensa objektif. Sebuah pelat fotografi ditempatkan di bidang fokus kamera. Dua gambar dengan kecerahan berbeda tertangkap di pelat fotografi (seperti yang ditunjukkan pada gambar). Bintang Vega tidak berada di sumbu optik lensa. Jarak antara sumbu optik dan gambar \( \Sigma_1 \) adalah \( \frac{r}{2} \). Temukan selisih antara magnitudo fotografis tampak dari dua gambar bintang Vega.
   
   
10. Bintang-bintang dengan nama Rumania
    Dua astronom asal Galati, Rumania—Ovidiu Tercu dan Alex Dumitriu—baru-baru ini menemukan dua bintang variabel. Koordinat galaktik kedua bintang tersebut adalah: Galati V1 \( (l_1 = 114.371° , b_1 = -11.35°) \) dan Galati V2 \( (l_2 = 113.266° , b_2 = -16.177°) \). Perkirakan jarak sudut antara bintang Galati V1 dan Galati V2.
11. Magnitudo semu Bulan
    Magnitudo semu Bulan jika dilihat dari Matahari adalah \( M_M = 0.25^m \).
    
    Hitunglah nilai magnitudo semu Bulan (sebagaimana diamati dari Bumi) yang bersesuaian dengan fase-fase Bulan berikut: bulan purnama dan kuarter pertama. Asumsikan: jarak Bulan–Bumi adalah \( d_{ME} = 385000 Km \), jarak Bumi–Matahari adalah \( d_{ES} = 1 AU \), dan jarak Bulan–Matahari adalah \( d_{MS} = 1 AU \). Bagi pengamat di Bumi, faktor fase berikut harus digunakan untuk mengoreksi kecerlangan Bulan terhadap kelengkungan permukaan Bulan dan fase Bulan. \[ p(\Psi) = \frac{2}{3}\left[\left(1-\frac{\Psi}{\pi}\right)\cos \Psi+ \frac{1}{\pi}\sin\Psi\right] \]
12. Besaran mutlak dari sebuah cepheid
    Cepheid adalah bintang variabel yang luminositasnya berubah-ubah akibat pulsasi bintang. Periode osilasi bintang Cepheid adalah \[ P=2 \pi R\sqrt{\frac{R}{GM}} \].
    di mana: R adalah jari-jari rata-rata Cepheid; M adalah massa Cepheid (tetap konstan selama osilasi); Anda dapat mengasumsikan bahwa suhu tetap konstan selama pulsasi;
    
    Nyatakan magnitudo mutlak rata-rata Cepheid, \( M_{ce p} \), dalam bentuk berikut: \[ M_{ce p} = -2.5^m.\log k - \left(\frac{10}{3}\right)^m.\log P \] di mana P adalah periode pulsasi Cepheid.

Ujian Teori - Soal Panjang

1. Elang-elang di Salib Caraiman!
   Salib tertinggi yang dibangun di puncak gunung terletak di sebuah dataran tinggi di puncak Caraiman, Rumania, pada ketinggian \( H \) = 2300 m di atas permukaan laut. Tingginya, termasuk struktur penyangga dasarnya, adalah \( h \) = 39,3 m. Lengan horizontal salib tersebut membentang dalam arah Utara-Selatan. Lokasi salib ini berada pada garis lintang \( \varphi = 45° \).
   1. Pada petang hari tanggal 21 Maret 2014, bertepatan dengan hari ekuinoks musim semi, dua ekor elang berhenti sejenak dalam penerbangan mereka; yang pertama di dekat monumen, dan yang kedua di puncak Salib, sebagaimana terlihat pada Gambar 1.
      
      
      
      Kedua elang tersebut berada pada garis vertikal yang sama. Langit saat itu sangat cerah, sehingga kedua elang dapat melihat cakrawala dan mengamati Matahari terbenam. Masing-masing elang mulai terbang tepat pada saat mereka melihat Matahari menghilang sepenuhnya.
      
      Pada saat yang sama, seorang astronom berada di permukaan laut, tepat di kaki Pegunungan Bucegi. Asumsikan bahwa ia berada pada garis vertikal yang sama dengan kedua elang tersebut. Dengan menganggap efek refraksi atmosfer dapat diabaikan, selesaikanlah pertanyaan-pertanyaan berikut:
      1. Hitunglah durasi matahari terbenam sebagaimana diukur oleh astronom tersebut.
      2. Hitunglah durasi matahari terbenam sebagaimana diukur oleh masing-masing dari kedua ekor elang tersebut dan tentukan elang mana yang meninggalkan Salib (Cross) terlebih dahulu. Berapakah selang waktu antara saat kedua elang tersebut terbang?
      
      Informasi berikut ini diperlukan:
      Durasi pengukuran saat matahari terbenam dimulai ketika piringan matahari bersinggungan dengan garis cakrawala dan berakhir ketika piringan matahari menghilang sepenuhnya. Periode rotasi Bumi adalah \( T_E \) = 24 jam, jari-jari Matahari adalah \( R_S \) = 6.96 x 10⁵ Km, jarak Bumi-Matahari adalah \( d_{ES} \) = 14.96 x 10⁷ Km, dan garis lintang Heroes Cross adalah \( \varphi \) = 45°. Jari-jari Bumi \( R_E \) = = 6370 km.
   2. Pada suatu saat keesokan harinya, tanggal 22 Maret 2014, kedua ekor elang itu kembali ke Salib Pahlawan. Salah satu elang hinggap di puncak tiang vertikal Salib tersebut, sedangkan yang lainnya hinggap di bagian mendatar—tepat di ujung bayangan tiang vertikal Salib itu—pada saat panjang bayangan mencapai titik minimumnya hari itu.
      1. Hitunglah jarak antara kedua burung elang tersebut dan jarak burung elang kedua dari salib.
      2. Hitunglah panjang lengan horizontal salib \( l_b \), jika bayangan salah satu lengan salib pada saat itu memiliki panjang \( u_b \) = 7 m.
   3. Pada tengah malam, sang astronom mendatangi tanda silang tersebut dan, dari puncaknya, ia mengidentifikasi sebuah bintang terang yang berada di batas sirkumpolar. Ia menamai bintang ini "Bintang Elang". Dengan mengetahui bahwa akibat refraksi atmosfer terjadi penurunan cakrawala sebesar \( \xi \) = 34', hitunglah:
      1. Deklinasi "bintang Eagle";
      2. Ketinggian maksimum "bintang Eagle" di atas cakrawala..
   [Asumsikan bahwa Bumi terletak di pusat gugus lokal kita.]
2. Dari Rumania... hingga ke Antipode! ...dengan pembawa pesan balistik.
   Penyelenggara IOAA ke-8 berencana mengirimkan bendera resmi ke titik antipoda (titik di permukaan Bumi yang letaknya tepat berseberangan secara diametral dengan posisi peluncuran) menggunakan proyektil balistik. Proyektil tersebut akan diluncurkan dari Rumania, dan rotasi Bumi akan diabaikan.
   1. Hitunglah koordinat titik sasaran jika koordinat titik peluncuran adalah: \( \varphi_{Rumania} \) = 44' Utara; \( \lambda_{Rumania} \) = 30° Timur.
   2. Tentukan besar kecepatan dan sudut peluncuran terhadap cakrawala di lokasi peluncuran agar proyektil mengenai sasaran.
   3. Hitunglah kecepatan proyektil saat mengenai sasaran.
   4. Hitunglah kecepatan minimum proyektil sepanjang lintasannya.
   5. Hitunglah waktu terbang proyektil, mulai dari peluncuran hingga saat mengenai sasaran. Anda dapat menggunakan nilai percepatan gravitasi di permukaan Bumi sebagai \( g_0 \) = 9.8 m/s^-2 dan jari-jari Bumi sebagai \( R \) = 6370 Km.
   6. Apakah mungkin proyektil tersebut dapat dilihat dengan mata telanjang saat berada pada jarak terjauh dari Bumi? Anda akan menggunakan nilai-nilai berikut: albedo Bulan \( \alpha_M \) = 0.12 , jari-jari Bulan \( R_M \) = 1738 Km, jarak Bumi-Bulan \( r_{EM} \) = 385000 Km, dan magnitudo semu bulan purnama \( m_{M} \) = -12.7^m. Asumsikan bahwa proyektil tersebut merupakan bola logam sempurna dengan jari-jari rm dan permukaan yang memantulkan cahaya secara sempurna.

Jawaban:

BAGIAN TEORI A.

1. 1. \( w \approx 37.44 \) Km
   
2. 2a. 2.38 tahun
   
3. 2b. Kesimpulannya, tidak perlu menghitung periode revolusi, atau nilainya dapat dianggap tak terhingga.
   
4. 3. \( v = c \frac{E_{}max - E_{min}}{E_{}max + E_{min}} \)
   
5. 4. \( L \approx 93 \) meter
   
6. 5. \( \tau = \frac{\eta}{\eta_s}(n)^{2.5} \tau_s \)
   
7. 6. \( \lambda_2 = \lambda_1 . \sqrt[4]{2} \)
   
8. 7. \( m_{\Sigma} = m_{s} - 2.5 \log \frac{P_{star}}{P_{sun}} \)
   
9. 8. \( m = m_{0} - 5 \log \frac{2 d_0 T_{N}^2}{R_S T_{S}^2} \)
   
10. 9. \( m_2 - m_1 = 1.5^m \)
    
11. 10. \( \Delta \varphi \approx 4.946°\)
    
12. 11. \( m_M = -10.5^m \)
    
13. 12. \( M_{cef} = -2.5 \log k - \frac{10}{3} \log P \)
    

BAGIAN TEORI B.

1. 1a1. \( \Delta t = 3.354 \) detik
   
2. 1a2. \( \Delta \alpha_1 \approx 1.54° \)
   
3. 1b1. \( u_{min} = 39.3 \) meter
   
4. 1b2. \( l_{b} = 7 \) meter
   
5. 1c1. \( \delta_{min} \approx 42.9° \)
   
6. 1c2. \( h_{max} = 87.9° \)
   
7. 2a. \( \varphi_{Romania} = 37° \) Est, \( \varphi_{Antipod} = 150° \) Vest
   
8. 2b.
   
9. 2c. \( v_{Antipod} = v_0 = 2 \sqrt{\frac{g_0 R}{3}} \)
   
10. 2d. \( v_{min} = \sqrt{\frac{2 g_0 R}{3}. \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}} \)
    
11. 2e. \( \Delta t = \left(\frac{1}{2} + \frac{eb}{\pi a} + \frac{\arcsin e}{\pi}\right) T \)
    
12. 2f. \( m_{projectil} = 10.7^m \), \( m_{max} \approx 6^m \) Proyektil itu tidak terlihat ketika berada pada puncaknya
    
13. 
    

---

Olimpiade: IOAA (International Olympiad on Astronomy and Astrophysics)
Tahun: 2014
Negara: Romania (8^th IOAA)

---